En matemáticas , un dominio de tubo es una generalización de la noción de una franja vertical (o semiplano ) en el plano complejo a varias variables complejas . Se puede pensar en una franja como la colección de números complejos cuya parte real se encuentra en un subconjunto dado de la línea real y cuya parte imaginaria no está restringida; del mismo modo, un tubo es el conjunto de vectores complejos cuya parte real está en alguna colección dada de vectores reales, y cuya parte imaginaria no está restringida.
Los dominios de tubo son dominios de la transformada de Laplace de una función de varias variables reales (ver transformada de Laplace multidimensional ). Los espacios de Hardy en tubos se pueden definir de una manera en la que una versión del teorema de Paley-Wiener a partir de una variable sigue siendo válida y caracteriza los elementos de los espacios de Hardy como transformadas de Laplace de funciones con propiedades de integrabilidad apropiadas. Los tubos sobre conjuntos convexos son dominios de holomorfia . Los espacios de Hardy en tubos sobre conos convexos tienen una estructura especialmente rica, por lo que se conocen resultados precisos sobre los valores límite de Hp funciones. En física matemática, el tubo del futuro es el dominio del tubo asociado al interior del cono nulo pasadoen el espacio de Minkowski , y tiene aplicaciones en la teoría de la relatividad y la gravedad cuántica . [1] Ciertos tubos sobre conos admiten una métrica de Bergman en términos de los cuales se convierten en dominios simétricos acotados . Uno de ellos es el semiespacio de Siegel, fundamental en aritmética .
Definición
Let R n denotan verdadero espacio de coordenadas de dimensión n y C n denotan complejo espacio de coordenadas. Entonces, cualquier elemento de C n se puede descomponer en partes reales e imaginarias:
Sea A un subconjunto abierto de R n . El tubo sobre A , denotado T A , es el subconjunto de C n que consta de todos los elementos cuyas partes reales se encuentran en A : [2] [a]
Tubos como dominios de holomorfia
Suponga que A es un conjunto abierto conectado. Entonces, cualquier función de valor complejo que sea holomórfica en un tubo T A puede extenderse únicamente a una función holomórfica en el casco convexo del tubo ch T A , [2] que también es un tubo, y de hecho
Dado que cualquier conjunto abierto convexo es un dominio de holomorfia , un tubo convexo también es un dominio de holomorfia. Entonces, la envoltura holomórfica de cualquier tubo es igual a su casco convexo. [3]
Espacios resistentes
Sea A un conjunto abierto en R n . El espacio de Hardy H p ( T A ) es el conjunto de todas las funciones holomórficas F en T A tales que
para todos x en A .
En el caso especial de p = 2, las funciones en H 2 ( T A ) se pueden caracterizar de la siguiente manera. [4] Sea ƒ una función de valores complejos en R n que satisfaga
La transformada de Fourier-Laplace de f se define por
Entonces F está bien definido y pertenece a H 2 ( T A ). A la inversa, cada elemento de H 2 ( T A ) tiene esta forma.
Un corolario de esta caracterización es que H 2 ( T A ) contiene una función distinta de cero si y solo si A no contiene una línea recta.
Tubos sobre conos
Sea A un cono convexo abierto en R n . Esto significa que A es un conjunto convexo abierto tal que, siempre que x se encuentra en A , también lo hace todo el rayo desde el origen hasta x . Simbólicamente,
Si A es un cono, entonces los elementos de H 2 ( T A ) tienen límites de frontera L 2 en el sentido de que [4]
existe en L 2 ( B ). Hay un resultado análogo para H p ( T A ), pero requiere una regularidad adicional del cono (específicamente, el cono doble A * debe tener un interior no vacío).
Ver también
Notas
- ↑ En cambio, algunas convenciones definen un tubo como un dominio tal que la parte imaginaria se encuentra en A ( Stein y Weiss 1971 ).
Citas
- ^ Gibbons 2000 .
- ↑ a b Hörmander, 1990 .
- ^ Chirka, 2001 .
- ^ a b Stein y Weiss, 1971 .
Fuentes
- Chirka, EM (2001) [Publicado por primera vez en 1994], "Tube domain" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press.
- Gibbons, GW (2000), "Holography and the future tube", Classical and Quantum Gravity , 17 : 1071–1079, arXiv : hep-th / 9911027 , doi : 10.1088 / 0264-9381 / 17/5/316.
- Hörmander, Lars (1990), Introducción al análisis complejo en varias variables , Nueva York: Holanda Septentrional, ISBN 0-444-88446-7.
- Stein, Elias ; Weiss, Guido (1971), Introducción al análisis de Fourier sobre espacios euclidianos , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9- a través de Internet Archive.