Siegel cero

Potencial contraejemplo de la Hipótesis de Riemann generalizada, en ceros de la función L de Dirichlet real muy cerca de s = 1

En matemáticas , más específicamente en el campo de la teoría analítica de números , un cero de Landau-Siegel o simplemente un cero de Siegel (también conocido como cero excepcional ^[1] ), llamado así por Edmund Landau y Carl Ludwig Siegel , es un tipo de contraejemplo potencial al hipótesis generalizada de Riemann , sobre los ceros de las funciones L de Dirichlet asociadas a campos numéricos cuadráticos . En términos generales, estos son posibles ceros muy cercanos (en un sentido cuantificable) a s = 1 .

Motivación y definición

La forma en que aparecen los ceros de Siegel en la teoría de las funciones L de Dirichlet es como posibles excepciones a las regiones clásicas libres de cero , que solo pueden ocurrir cuando la función L está asociada a un carácter de Dirichlet real.

Personajes reales primitivos de Dirichlet

Para un entero q ≥ 1 , un carácter de Dirichlet módulo q es una función aritmética que satisface las siguientes propiedades:${\textstyle \chi :\mathbb {Z} \to \mathbb {C} ^{*}}$

• ( Completamente multiplicativo ) para cada m , n ;${\textstyle \chi (mn)=\chi (m)\chi (n)}$
• (Periódico) para cada n ;${\textstyle \chi (n+q)=\chi (n)}$
• (Soporte) si .${\textstyle \chi (n)=0}$${\displaystyle \mathrm {gcd} (n,q)>1}$

Es decir, χ es el levantamiento de un homomorfismo .${\textstyle {\widetilde {\chi }}:(\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }\to \mathbb {C} ^{*}}$

El carácter trivial es el carácter módulo 1, y el carácter principal módulo q , denotado , es el levantamiento del homomorfismo trivial . Un carácter se llama imprimitivo si existe algún número entero con tal que el homomorfismo inducido se factoriza como${\textstyle \chi _{0}~(\mathrm {mod} ~q)}$${\textstyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }\ni a\mapsto 1\in \mathbb {C} ^{*}}$${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~{q})}$${\textstyle d\neq q}$${\textstyle d\mid q}$${\textstyle {\widetilde {\chi }}:(\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }\to \mathbb {C} ^{*}}$

${\displaystyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }\twoheadrightarrow (\mathbb {Z} /d\mathbb {Z} )^{\times }\xrightarrow {\widetilde {\chi '}} \mathbb {C} ^{*}}$

por algún personaje ; de lo contrario, se llama primitivo . Un carácter es real (o cuadrático ) si es igual a su conjugado complejo (definido como ), o equivalentemente si . Los caracteres de Dirichlet primitivos reales están en correspondencia uno a uno con los símbolos de Kronecker para un discriminante fundamental (es decir, el discriminante de un campo numérico cuadrático ). ^[2] Una forma de definir es como la función aritmética completamente multiplicativa determinada por (para p primo):${\textstyle \chi '~(\mathrm {mod} ~{d})}$${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~{q})}$${\textstyle \chi }$ ${\displaystyle {\overline {\chi }}}$${\displaystyle {\overline {\chi }}(n):={\overline {\chi (n)}}}$${\textstyle \chi ^{2}=\chi _{0}}$ ${\textstyle (D|\,\cdot \,):\mathbb {Z} \to \{-1,0,1\}}$${\textstyle D\in \mathbb {Z} }$${\textstyle (D|\,\cdot \,)}$

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {D}{p}}{\bigg )}={\begin{cases}1,&(p){\text{ splits in }}\mathbb {Q} ({\sqrt {D}})\\-1,&(p){\text{ is inert }}\cdots \\0,&(p){\text{ ramifies }}\cdots \end{cases}},\quad {\bigg (}{\frac {D}{-1}}{\bigg )}={\text{sign of }}D.}$

Por lo tanto, es común escribir , que son caracteres primitivos reales módulo .${\textstyle \chi _{D}:=(D|\,\cdot \,)}$${\textstyle |D|}$

Regiones clásicas libres de cero

Artículo principal: Función L de Dirichlet § Ceros

La función L de Dirichlet asociada a un carácter se define como la continuación analítica de la serie de Dirichlet definida para , donde s es una variable compleja . Para no principal, esta continuación es completa ; de lo contrario, tiene un polo simple de residuo en s = 1 como su única singularidad. Porque , las funciones L de Dirichlet se pueden expandir en un producto de Euler , de donde se sigue que no tiene ceros en esta región. El teorema de los números primos para progresiones aritméticas${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~q)}$ ${\textstyle L(s,\chi )=\sum _{n\geq 1}\chi (n)n^{-s}}$${\textstyle \mathrm {Re} (s)>1}$${\displaystyle \chi }$ ${\textstyle \prod _{p\mid q}(1-p^{-1})}$${\textstyle \mathrm {Re} (s)>1}$ ${\textstyle L(s,\chi )=\prod _{p}(1-\chi (p)p^{-s})^{-1}}$${\textstyle L(s,\chi )}$es equivalente (en cierto sentido) a ( ). Por otra parte, a través de la ecuación funcional , podemos reflejar estas regiones a través de a la conclusión de que, con la excepción de los números enteros negativos de la misma paridad que χ , ^[3] todos los otros ceros de interior debe mentira . Esta región se denomina franja crítica y los ceros de esta región se denominan ceros no triviales .${\textstyle L(1+it,\chi )\neq 0}$${\textstyle \forall t\in \mathbb {R} }$${\textstyle s\mapsto 1-s}$${\textstyle L(s,\chi )}$${\displaystyle \{0<\mathrm {Re} (s)<1\}}$

El teorema clásico sobre regiones libres de cero (Grönwall, ^[4] Landau, ^[5] Titchmarsh ^[6] ) establece que existe un número real (efectivamente calculable) tal que, escribiendo para la variable compleja, la función tiene no hay ceros en la región${\textstyle A>0}$${\displaystyle s=\sigma +it}$${\textstyle L(s,\chi )}$

${\displaystyle \sigma >1-{\frac {A}{(\log q(|t|+2))}}}$

si no es real. Si es real, entonces hay como máximo un cero en esta región, que necesariamente debe ser real y simple . Este posible cero es el llamado cero Siegel .${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~q)}$${\textstyle \chi }$

La Hipótesis de Riemann Generalizada (GRH) afirma que para cada , todos los ceros no triviales de se encuentran en la línea .${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~q)}$${\textstyle L(s,\chi )}$${\textstyle \mathrm {Re} (s)={\frac {1}{2}}}$

Definición de "ceros de Siegel"

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Existe para cuál para cada discriminante fundamental D proporcionado ?${\textstyle \delta >0}$${\textstyle L(\sigma ,\chi _{D})\neq 0}$${\textstyle 1-{\frac {\delta }{\log |D|}}<\sigma <1}$

(más problemas sin resolver en matemáticas)

La definición de ceros de Siegel tal como se presenta la vincula a la constante A en la región libre de cero. Esto hace que a menudo sea complicado manejar estos objetos, ya que en muchas situaciones el valor particular de la constante A es de poca importancia. ^[1] Por lo tanto, es habitual trabajar con declaraciones más definidas, ya sea afirmando o negando, la existencia de una familia infinita de tales ceros, como en:

• Conjetura ("sin ceros de Siegel"): Si${\textstyle \beta _{D}}$ denota el mayor cero real de , entonces .${\textstyle L(s,\chi _{D})}$${\displaystyle 1-\beta _{D}\gg {\frac {1}{\log |D|}}}$

La posibilidad de existencia o no existencia de ceros de Siegel tiene un gran impacto en temas estrechamente relacionados de la teoría de números, con la conjetura "sin ceros de Siegel" que sirve como un sustituto más débil, aunque poderoso y, a veces, completamente suficiente para GRH (ver más abajo un ejemplo que involucra el teorema de Siegel-Tatuzawa y el problema de los números idoneales ). Una formulación equivalente de "sin ceros Siegel" que no hace referencia explícita a los ceros es la declaración:

${\displaystyle {\frac {L'}{L}}(1,\chi _{D})=O(\log |D|).}$

La equivalencia se puede deducir, por ejemplo, utilizando las regiones libres de cero y las estimaciones clásicas para el número de ceros no triviales de hasta una cierta altura. ^[7]${\textstyle L(s,\chi )}$

Estimaciones de Landau-Siegel

El primer avance en el manejo de estos ceros provino de Landau, quien demostró que existe una constante absoluta B > 0 efectivamente computable, tal que, si y son caracteres primitivos reales para módulos distintos, y son ceros reales de respectivamente, entonces${\textstyle \chi _{D}}$${\textstyle \chi _{D'}}$${\textstyle \beta ,\beta '}$${\textstyle L(s,\chi _{D}),L(s,\chi _{D'})}$

${\displaystyle \min\{\beta ,\beta '\}<1-{\frac {B}{\log |DD'|}}.}$

Esto quiere decir que, si existen ceros de Siegel, entonces no pueden ser demasiado numerosos. La forma en que esto se demuestra es mediante un argumento "retorcido", que eleva el problema a la función zeta de Dedekind del campo bicuadrático . Esta técnica todavía se aplica en gran medida en obras modernas.${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}},{\sqrt {D'}})}$

Este 'efecto repelente' (ver fenómeno Deuring-Heilbronn ), después de un análisis más cuidadoso, llevó a Landau a su teorema de 1936, ^[8] que establece que para cada , hay tal que, si es un cero real de , entonces . Sin embargo, en el mismo año, en el mismo número de la misma revista, Siegel ^[9] mejoró directamente esta estimación a${\textstyle \varepsilon >0}$${\textstyle C(\varepsilon )\in \mathbb {R} _{+}}$${\textstyle \beta }$${\textstyle L(s,\chi _{D})}$${\textstyle \beta <1-C(\varepsilon )|D|^{-{\frac {3}{8}}-\varepsilon }}$

${\displaystyle \beta <1-C(\varepsilon )|D|^{-\varepsilon }.}$

Tanto la prueba de Landau como la de Siegel no proporcionan una forma explícita de calcular , siendo una instancia de un resultado ineficaz .${\textstyle C(\varepsilon )\in \mathbb {R} _{+}}$

Teorema de Siegel-Tatuzawa

En 1951, T. Tatuzawa demostró una versión "casi" eficaz del teorema de Siegel, ^[10] mostrando que para cualquier fijo , si entonces${\textstyle 0<\varepsilon <{\frac {1}{11.2}}}$${\textstyle |D|>e^{1/\varepsilon }}$

${\displaystyle L(1,\chi _{D})>0.655|D|^{-\varepsilon },}$

con la posible excepción de como máximo un discriminante fundamental. Usando la 'casi efectividad' de este resultado, PJ Weinberger (1973) ^[11] mostró que la lista de Euler de 65 números idoneales es completa excepto por un elemento como máximo.

Relación con los campos cuadráticos

Los ceros de Siegel son más que un problema artificial en el argumento para deducir regiones libres de cero y, de hecho, disfrutan de profundas conexiones con la aritmética de campos cuadráticos. Por ejemplo, la identidad puede interpretarse como la formulación analítica de la reciprocidad cuadrática (véase la ley de reciprocidad de Artin § Declaración en términos de funciones L ). La conexión real entre la distribución de ceros cerca de s = 1 y la aritmética proviene más precisamente de la fórmula del número de clase de Dirichlet :${\textstyle \zeta _{\mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}(s)=\zeta (s)L(s,\chi _{D})}$

${\displaystyle L(1,\chi _{D})={\begin{cases}{\dfrac {2\pi }{w_{D}{\sqrt {|D|}}}}\,h(D),&{\text{if }}D<0\\[.5em]{\dfrac {\log \varepsilon _{D}}{\sqrt {D}}}\,h(D),&{\text{if }}D>0,\end{cases}}}$

dónde:

• ${\textstyle h(D)}$es el número de clase ideal de ;${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$
• ${\textstyle w_{D}}$es el número de raíces de unidad en ( D <0 );${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$
• ${\textstyle \varepsilon _{D}}$es la unidad fundamental de ( D > 0 ).${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$

De esta manera, las estimaciones para el mayor cero real de pueden traducirse en estimaciones de (a través, por ejemplo, del hecho de que para ), ^[12] que a su vez se convierten en estimaciones de . Las obras clásicas de la asignatura tratan estas tres cantidades esencialmente de manera intercambiable, aunque el caso D > 0 trae complicaciones adicionales relacionadas con la unidad fundamental.${\textstyle L(s,\chi _{D})}$${\textstyle L(1,\chi _{D})}$${\textstyle |L'(\sigma ,\chi )|=O(\log ^{2}q)}$${\textstyle 1-{\frac {1}{\log q}}\leq \sigma \leq 1}$${\textstyle h(D)}$

Ceros de Siegel como 'fenómenos cuadráticos'

En cierto sentido, la dificultad asociada al fenómeno de los ceros de Siegel en general está completamente restringida a las extensiones cuadráticas. Es una consecuencia del teorema de Kronecker-Weber , por ejemplo, que la función zeta de Dedekind de un campo numérico abeliano puede escribirse como un producto de las funciones L de Dirichlet. ^[13] Por lo tanto, si tiene un cero Siegel, debe haber algún subcampo con tal que tenga un cero Siegel.${\textstyle \zeta _{K}(s)=\sum _{I\subseteq {\mathfrak {O}}_{K}}[{\mathfrak {O}}_{K}:I]^{-s}}$ ${\textstyle K/\mathbb {Q} }$${\textstyle \zeta _{K}(s)}$${\textstyle F\subseteq K}$${\textstyle [F:\mathbb {Q} ]=2}$${\textstyle \zeta _{F}(s)}$

Si bien para el caso no abeliano solo se puede factorizar en funciones L de Artin más complicadas , lo mismo es cierto:${\textstyle \zeta _{K}(s)}$

• Teorema ( Stark , 1974) . ^[14] Sea un campo numérico de grado n > 1 . Hay una constante ( si es normal, de lo contrario) tal que, si hay un real en el rango${\textstyle K/\mathbb {Q} }$${\textstyle c(n)}$${\textstyle =4}$${\textstyle K/\mathbb {Q} }$${\textstyle =4n!}$${\textstyle \beta }$

$1-{\frac {c(n)}{\log |\Delta _{K}|}}\leq \beta <1$

con , entonces hay un subcampo cuadrático tal que . Aquí está el discriminante de campo de la extensión .${\textstyle \zeta _{K}(\beta )=0}$${\textstyle F\subseteq K}$${\textstyle \zeta _{F}(\beta )=0}$${\textstyle \Delta _{K}}$${\textstyle K/\mathbb {Q} }$

"Sin ceros Siegel" para D <0

Cuando se trata de campos cuadráticos, el caso tiende a ser esquivo debido al comportamiento de la unidad fundamental. Por tanto, es habitual tratar los casos y por separado. Se sabe mucho más sobre el caso del discriminante negativo:${\textstyle D>0}$${\textstyle D<0}$${\textstyle D>0}$

Límites inferiores para h ( D )

En 1918, Hecke demostró que "sin ceros de Siegel" para implica que ^[5] (ver problema de número de clase para comparar). Esto puede extenderse a una equivalencia, ya que es una consecuencia del Teorema 3 en Granville - Stark (2000): ^[15]${\textstyle D<0}$${\textstyle h(D)\gg {\sqrt {|D|}}(\log |D|)^{-1}}$

${\displaystyle {\text{``No Siegel zeros'' for }}D<0\quad \iff \quad h(D)\gg {\frac {\sqrt {|D|}}{\log |D|}}\sum _{(a,b,c)}{\frac {1}{a}},}$

donde la suma corre sobre las formas cuadráticas binarias reducidas del discriminante . Usando esto, Granville y Stark demostraron que una cierta formulación uniforme de la conjetura abc para campos numéricos implica "sin ceros Siegel" para discriminantes negativos. ${\textstyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$${\textstyle D}$

En 1976, D. Goldfeld ^[16] demostró el siguiente límite inferior efectivo e incondicional para :${\textstyle h(D)}$

${\displaystyle h(D)\gg \prod _{p\mid D}{\bigg (}1-{\frac {2{\sqrt {p}}}{p+1}}{\bigg )}\,\log |D|.}$

Multiplicación compleja

Se puede dar otra equivalencia para "sin ceros Siegel" en términos de límites superiores para alturas de módulos singulares :${\textstyle D<0}$

${\displaystyle h(j(\tau _{D}))\ll \log |D|,}$

dónde:

• ${\textstyle h}$es la altura ingenua logarítmica absoluta para campos numéricos;
• ${\textstyle j}$es la función j-invariante ;
• ${\textstyle \tau _{D}:=(D+{\sqrt {D}})/2}$.

El número genera el campo de clase de Hilbert de , que es su extensión abeliana no ramificada máxima. ^[17] Esta equivalencia es una consecuencia directa de los resultados de Granville-Stark (2000), ^[15] y puede verse en C. Táfula (2019). ^[18]${\textstyle j(\tau _{D})}$${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$

P. Colmez (1993, ^[19] 1998 ^[20] ) obtuvo una relación precisa entre las alturas y los valores de las funciones L , quien demostró que, para una curva elíptica con multiplicación compleja por , tenemos${\textstyle E_{D}/\mathbb {C} }$${\textstyle \mathbb {Z} [\tau _{D}]}$

${\displaystyle -2h_{\mathrm {Fal} }(E_{D})-{\frac {1}{2}}\log |D|={\frac {L'}{L}}(0,\chi _{D})+\log 2\pi ,}$

donde denota la altura de Faltings . ^{[21] A} través de las relaciones relativamente elementales ^[22] y , ^[23] el teorema de Colmez también proporciona una prueba de la equivalencia anterior.${\textstyle h_{\mathrm {Fal} }}$${\textstyle h_{\mathrm {Fal} }(E_{D})={\frac {1}{12}}h(j(\tau _{D}))+O(\log h(j(\tau _{D})))}$${\textstyle {\frac {L'}{L}}(1,\chi _{D})=-{\frac {L'}{L}}(0,\chi _{D})-\log |D|+\log 2\pi +\gamma }$

Consecuencias de la existencia de ceros de Siegel

Aunque se espera que la Hipótesis de Riemann Generalizada sea ​​cierta, mientras que la conjetura "sin ceros de Siegel" permanece abierta, es interesante estudiar cuáles son las consecuencias de contraejemplos tan severos para la hipótesis. Otra razón para estudiar esta posibilidad es que la demostración de ciertos teoremas incondicionales requiere la división en dos casos: primero una prueba suponiendo que no existen ceros de Siegel, luego otra suponiendo que existen ceros de Siegel. El ejemplo más famoso de un teorema de este tipo es el teorema de Linnik sobre el primo más pequeño en una progresión aritmética .

Los siguientes son algunos ejemplos de hechos que se derivan de la existencia de ceros de Siegel.

Infinitud de primos gemelos

Artículo principal: Twin prime

Uno de los resultados más llamativos en esta dirección es el resultado de 1983 de Heath-Brown ^[24] que, siguiendo a Tao , ^[25] puede enunciarse de la siguiente manera:

• Teorema (Heath-Brown, 1983) . Al menos uno de los siguientes es verdadero: (1) No hay ceros Siegel. ( 2) Hay infinitos números primos gemelos .

Problema de paridad

Artículo principal: Problema de paridad (teoría del tamiz)

El problema de la paridad en la teoría del tamiz se refiere aproximadamente al hecho de que los argumentos del tamizado son, en general, incapaces de decir si un número entero tiene un número par o impar de divisores primos. Esto conduce a que muchos límites superiores en las estimaciones del tamiz, como el del tamiz lineal ^[26], se desvíen en un factor de 2 del valor esperado. En 2020, Granville ^[27] mostró que bajo el supuesto de la existencia de ceros de Siegel, los límites superiores generales para el problema de los intervalos de cribado son óptimos, lo que significa que el factor extra de 2 proveniente del fenómeno de paridad no sería un factor artificial. limitación del método.

Ver también

• Hipótesis de Riemann generalizada
• Fenómeno Deuring-Heilbronn
• Problema de número de clase
• Teorema de Brauer-Siegel
• Teorema de Siegel-Walfisz

Referencias

1. Véase Iwaniec (2006).
2. Ver Satz 4, §5 de Zagier (1981).
3. χ (mod q ) es par si χ (-1) = 1 e impar si χ (-1) = -1 .
4. Grönwall , TH (1913). "Sur les séries de Dirichlet correspondant à des charactères complexes". Rendiconti di Palermo (en francés). 35 : 145-159.
5. Landau , E. (1918). "Über die Klassenzahl imaginär-quadratischer Zahlkörper". Göttinger Nachrichten (en alemán): 285–295.
6. Titchmarsh , EC (1930). "Un problema de divisor". Rendiconti di Palermo . 54 : 414–429.
7. Véase el capítulo 16 de Davenport (1980).
8. Landau , E. (1936). "Bemerkungen zum Heilbronnschen Satz". Acta Arithmetica (en alemán): 1-18.
9. Siegel, CL (1935). "Über die Klassenzahl quadratischer Zahlkörper" [Sobre los números de clase de los campos cuadráticos]. Acta Arithmetica (en alemán). 1 (1): 83–86. doi : 10.4064 / aa-1-1-83-86 .
10. Tatuzawa, T. (1951). "Sobre un teorema de Siegel". Revista japonesa de matemáticas . 21 : 163-178.
11. Weinberger, PJ (1973). "Exponentes del grupo de clases de campos cuadráticos complejos". Acta Arithmetica . 22 : 117-124.
12. Ver (11) en el Capítulo 14 de Davenport (1980).
13. Teorema 10.5.25 en Cohen, H. (2007). Teoría de números: Volumen II: Herramientas analíticas y modernas . Textos de Posgrado en Matemáticas, Teoría de Números. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-49893-5..
14. Lema 8 en Stark, HM (1 de junio de 1974). "Algunos casos efectivos del teorema de Brauer-Siegel" . Inventiones mathicae . 23 (2): 135-152. doi : 10.1007 / BF01405166 . ISSN 1432-1297 . 
15. Granville, A .; Stark, HM (1 de marzo de 2000). "ABC no implica" ceros de Siegel "para las funciones L de caracteres con discriminante negativo" . Inventiones mathicae . 139 (3): 509–523. doi : 10.1007 / s002229900036 . ISSN 1432-1297 . 
16. Goldfeld, Dorian M. (1976). "El número de clase de campos cuadráticos y las conjeturas de Birch y Swinnerton-Dyer" . Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze (en francés). 3 (4): 623–663.
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18. Táfula, C. (2019). "Sobre ceros Landau-Siegel y alturas de módulos singulares". arXiv : 1911.07215 [ math.NT ].
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21. Ver el diagrama en la subsección 0.6 de Colmez (1993). Hay un pequeño error tipográfico en la esquina superior derecha de este diagrama, que en su lugar debería leer "".${\textstyle -2h_{\mathrm {Fal} }(X)-{\frac {1}{2}}\log D}$
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23. Consecuencia de la ecuación funcional , donde γ = 0.57721 ... es la constante de Euler-Mascheroni .
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