Función de conjunto aditivo sigma

En matemáticas , una función de conjunto aditivo es una función que asigna conjuntos a números, con la propiedad de que su valor en una unión de dos conjuntos disjuntos es igual a la suma de sus valores en estos conjuntos, es decir, si esta propiedad de aditividad se cumple para dos conjuntos cualesquiera, entonces también se cumple para cualquier número finito de conjuntos, es decir, el valor de la función en la unión de k conjuntos disjuntos (donde k es un número finito) es igual a la suma de sus valores en los conjuntos. Por lo tanto, una función de conjunto aditiva también se denomina función de conjunto finitamente aditiva (los términos son equivalentes). Sin embargo, una función de conjunto finitamente aditivo podría no tener la propiedad de aditividad para una unión de un ${\textstyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).}$ número infinito de conjuntos. Una función de conjunto σ-aditiva es una función que tiene la propiedad de aditividad incluso para infinitos conjuntos, es decir, ${\textstyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}) .}$

La aditividad y la aditividad sigma son propiedades particularmente importantes de las medidas . Son abstracciones de cómo las propiedades intuitivas de tamaño ( longitud , área , volumen ) de un conjunto se suman cuando se consideran múltiples objetos. La aditividad es una condición más débil que la σ-aditividad; es decir, σ-aditividad implica aditividad.

Sea una función de conjuntos definida en un álgebra de conjuntos con valores en (ver la línea de números reales extendida ). La función se llama aditiva, o finitamente aditiva, si, siempre que y son conjuntos disjuntos en uno tiene ${\ estilo de visualización \ mu}$ $\scriptstyle {\mathcal {A}}$ $[-\infty,\infty]$ ${\ estilo de visualización \ mu}$ ${\ estilo de visualización A}$ ${\ estilo de visualización B}$ $\scriptstyle {\mathcal {A}},$

Supongamos que es un σ-álgebra . Si para cada secuencia de conjuntos disjuntos por pares en $\scriptstyle {\mathcal {A}}$ $A_{1},A_{2},\ldots,A_{n},\ldots$ $\scriptstyle {\mathcal {A}},$