La firma de un nudo es un invariante topológico en la teoría de nudos . Puede calcularse a partir de la superficie Seifert .
Dado un nudo K en la esfera 3 , tiene una superficie Seifert S cuyo límite es K . La forma Seifert de S es el emparejamientodado tomando el número de enlace dónde y indicar las traduce de un y b , respectivamente, en las direcciones positiva y negativa del fibrado normal a S .
Dada una base por (donde g es el género de la superficie) la forma Seifert se puede representar como una matriz Seifert V de 2g -por- 2g , . La firma de la matriz, Pensado como una forma bilineal simétrica, es la firma del nudo K .
Se sabe que los nudos de corte no tienen firma.
La formulación del módulo Alexander
Las firmas de nudos también se pueden definir en términos del módulo Alexander del complemento de nudos. Dejarsea la cubierta abeliana universal del complemento del nudo. Considere que el módulo de Alexander es el primer grupo de homología de la cobertura abeliana universal del complemento de nudos:. Dado un-módulo , dejar denotar el -módulo cuyo subyacente -módulo es pero donde actúa por la transformación de cobertura inversa. La formulación de Blanchfield de la dualidad de Poincaré para da un isomorfismo canónico dónde denota el segundo grupo de cohomología de con apoyos y coeficientes compactos en . El teorema del coeficiente universal para da un isomorfismo canónico con (porque el módulo Alexander es -torsión). Además, al igual que en la formulación de la forma cuadrática de la dualidad de Poincaré , hay un isomorfismo canónico de-módulos , dónde denota el campo de fracciones de . Este isomorfismo se puede considerar como un emparejamiento de dualidad sesquilínea. dónde denota el campo de fracciones de . Esta forma toma valor en los polinomios racionales cuyos denominadores son el polinomio de Alexander del nudo, que como-módulo es isomorfo a . Dejar ser cualquier función lineal que sea invariante bajo la involución , luego componiéndolo con el emparejamiento de dualidad sesquilineal da una forma bilineal simétrica en cuya firma es invariante del nudo.
Todas estas firmas son invariantes de concordancia, por lo que todas las firmas de los nudos de corte son cero. El emparejamiento de dualidad sesquilineal respeta la descomposición del poder primario de—Es decir: la descomposición de la potencia prima da una descomposición ortogonal de . Cherry Kearton ha demostrado cómo calcular los invariantes de firma de Milnor a partir de este emparejamiento, que son equivalentes al invariante de Tristram-Levine .
Ver también
Referencias
- C.Gordon, Algunos aspectos de la teoría clásica del nudo. Springer Lecture Notes in Mathematics 685. Proceedings Plans-sur-Bex Suiza 1977.
- J. Hillman, invariantes algebraicos de enlaces. Serie sobre nudos y todo. Vol 32. World Scientific.
- C.Kearton, Firmas de nudos y cálculo diferencial libre, Quart. J. Math. Oxford (2), 30 (1979).
- J. Levine, Grupos de cobordismo de nudos en la codimensión dos, Comentario. Matemáticas. Helv. 44, 229-244 (1969)
- J. Milnor, Cubiertas cíclicas infinitas, JG Hocking, ed. Conf. sobre la topología de colectores, Prindle, Weber y Schmidt, Boston, Mass, 1968 págs. 115-133.
- K.Murasugi, Sobre un cierto invariante numérico de tipos de enlaces, Trans. Amer. Matemáticas. Soc. 117, 387-482 (1965)
- A.Ranicki Sobre las firmas de los nudos Diapositivas de la conferencia pronunciada en Durham el 20 de junio de 2010.
- H.Trotter , Homología de sistemas de grupos con aplicaciones a la teoría de nudos, Ann. de Matemáticas. (2) 76, 464-498 (1962)