Firma (topología)
En el campo de la topología , la firma es un invariante entero que se define para una variedad orientada M de dimensión divisible por cuatro .
Esta invariante de una variedad se ha estudiado en detalle, comenzando con el teorema de Rokhlin para 4 variedades y el teorema de la firma de Hirzebruch .
Dada una variedad M conectada y orientada de dimensión 4 k , el producto de copa da lugar a una forma cuadrática Q en el grupo de cohomología real 'medio'
que se puede identificar con . Por lo tanto, el producto de taza, bajo estas hipótesis, da lugar a una forma bilineal simétrica en H 2 k ( M , R ); y por lo tanto a una forma cuadrática Q . La forma Q no es degenerada debido a la dualidad de Poincaré, ya que se empareja consigo misma de forma no degenerada. [1] [2] Más generalmente, la firma se puede definir de esta manera para cualquier poliedro compacto general con dualidad de Poincaré 4n -dimensional.
La firma de M es por definición la firma de Q , un triple ordenado según su definición. Si M no está conectado, su firma se define como la suma de las firmas de sus componentes conectados.
Si M tiene una dimensión no divisible por 4, su firma generalmente se define como 0. Hay una generalización alternativa en la teoría L : la firma puede interpretarse como el grupo L simétrico de 4 k dimensiones (simplemente conectado) o como el El grupo L cuadrático de 4 k dimensiones y estas invariantes no siempre desaparecen para otras dimensiones. El invariante de Kervaire es un mod 2 (es decir, un elemento de ) para variedades enmarcadas de dimensión 4 k +2 (el grupo L cuadrático ), mientras que el invariante de De Rham es un invariante mod 2 de variedades de dimensión 4 k +1 ( el grupo L simétrico); los otros grupos L dimensionales desaparecen.
