En matemáticas, el invariante de Kervaire es un invariante de un marco - variedad dimensional que mide si la variedad podría convertirse quirúrgicamente en una esfera. Este invariante se evalúa como 0 si la variedad se puede convertir en una esfera y 1 en caso contrario. Este invariante lleva el nombre de Michel Kervaire, quien se basó en el trabajo de Cahit Arf .
El invariante de Kervaire se define como el invariante Arf de la forma cuadrática sesgada en el grupo de homología de dimensión media . Se puede considerar como el grupo L cuadrático simplemente conectado , y por tanto análoga a las otras invariantes de la teoría L: la firma , un-dimensional invariante (simétrico o cuadrático, ), y el invariante de De Rham , un-dimensional simétrico invariante.
En cualquier dimensión dada, solo hay dos posibilidades: o todas las variedades tienen el invariante Arf-Kervaire igual a 0, o la mitad tiene el invariante Arf-Kervaire 0 y la otra mitad tiene el invariante Arf-Kervaire 1.
El problema del invariante de Kervaire es el problema de determinar en qué dimensiones el invariante de Kervaire puede ser distinto de cero. Para los colectores diferenciables , esto puede suceder en las dimensiones 2, 6, 14, 30, 62 y posiblemente 126, y no en otras dimensiones. El caso final de la dimensión 126 permanece abierto.
Definición
El invariante de Kervaire es el invariante Arf de la forma cuadrática determinada por el encuadre en la dimensión media.-grupo de homología de coeficientes
y por eso a veces se le llama invariante Arf-Kervaire . La forma cuadrática (propiamente, forma cuadrática sesgada ) es un refinamiento cuadrático de la forma ε-simétrica habitual en la homología dimensional media de una variedad de dimensión uniforme (sin marco); el encuadre produce el refinamiento cuadrático.
La forma cuadrática q se puede definir mediante topología algebraica utilizando cuadrados Steenrod funcionales y geométricamente a través de las autointersecciones de inmersiones. determinado por el encuadre, o por la trivialidad / no trivialidad de los paquetes normales de incrustaciones (por ) y el invariante mod 2 Hopf de mapas (por ).
Historia
El invariante de Kervaire es una generalización del invariante Arf de una superficie enmarcada (es decir, una variedad bidimensional con un paquete tangente establemente trivializado) que fue utilizado por Lev Pontryagin en 1950 para calcular el grupo de homotopía de mapas (por ), que es el grupo de cobordismo de superficies incrustadas en con paquete normal trivializado.
Kervaire (1960) usó su invariante para n = 10 para construir la variedad de Kervaire , una variedad PL de 10 dimensiones sin estructura diferenciable , el primer ejemplo de tal variedad, mostrando que su invariante no desaparece en esta variedad PL, pero desaparece en todos los colectores lisos de dimensión 10.
Kervaire y Milnor (1963) calculan el grupo de esferas exóticas (en dimensión mayor que 4), con un paso en el cálculo dependiendo del problema invariante de Kervaire. Específicamente, muestran que el conjunto de esferas exóticas de dimensión n , específicamente el monoide de estructuras suaves en la esfera n estándar , es isomorfo al grupode h -cobordism clases de orientada homotopy n -spheres . Calculan este último en términos de un mapa.
dónde es el subgrupo cíclico de n -esferas que unen una variedad de dimensión paralelizable, es el n- ésimo grupo de esferas de homotopía estable , y J es la imagen del homomorfismo J , que también es un grupo cíclico. Los grupos y tener factores cíclicos fáciles de entender, que son triviales o de orden dos, excepto en dimensión , en cuyo caso son grandes, con un orden relacionado con los números de Bernoulli . Los cocientes son las partes difíciles de los grupos. El mapa entre estos grupos de cocientes es un isomorfismo o es inyectivo y tiene una imagen de índice 2. Es el último si y solo si hay una variedad enmarcada n- dimensional de invariante de Kervaire distinto de cero, y por lo tanto la clasificación de esferas exóticas depende hasta un factor de 2 en el problema invariante de Kervaire.
Ejemplos de
Para el toro empotrado estándar , la forma simétrica sesgada viene dada por(con respecto a la base simpléctica estándar ), y el refinamiento cuadrático-sesgado viene dado por con respecto a esta base: : las curvas de base no se autoenlazan; y: a (1,1) autoenlaces , como en la fibración de Hopf . Por lo tanto, esta forma tiene Arf invariante 0 (la mayoría de sus elementos tienen norma 0; tiene índice de isotropía 1) y, por lo tanto, el toro integrado estándar tiene Kervaire invariante 0.
Problema invariante de Kervaire
La cuestión de en qué dimensiones n hay variedades enmarcadas n- dimensionales de invariante de Kervaire distinto de cero se denomina problema de invariante de Kervaire . Esto solo es posible si n es 2 mod 4, y de hecho uno debe tener n es de la forma(dos menos que una potencia de dos). La pregunta está casi completamente resuelta; a partir de 2019[actualizar] solo el caso de la dimensión 126 está abierto: hay variedades con invariante de Kervaire distinto de cero en la dimensión 2, 6, 14, 30, 62, y ninguna en todas las demás dimensiones excepto posiblemente 126.
Los principales resultados son los de William Browder ( 1969 ), quien redujo el problema de la topología diferencial a la teoría de la homotopía estable y mostró que las únicas dimensiones posibles son, y los de Michael A. Hill, Michael J. Hopkins y Douglas C. Ravenel ( 2016 ), quienes demostraron que no existían tales variedades para (). Junto con las construcciones explícitas para dimensiones inferiores (hasta 62), esto deja abierta solo la dimensión 126.
Michael Atiyah conjeturó que existe tal variedad en la dimensión 126, y que las variedades de dimensiones superiores con invariante de Kervaire distinto de cero están relacionadas con variedades exóticas bien conocidas de dos dimensiones superiores, en las dimensiones 16, 32, 64 y 128. a saber, el plano proyectivo Cayley (dimensión 16, plano proyectivo octoniónico) y los planos proyectivos análogos de Rosenfeld (el plano proyectivo bi-octoniónico en dimensión 32, el plano proyectivo cuateroctoniónico en dimensión 64, y el plano proyectivo octo-octoniónico en dimensión 128), específicamente que hay un construcción que toma estos planos proyectivos y produce una variedad con invariante de Kervaire distinto de cero en dos dimensiones inferiores. [1]
Historia
- Kervaire (1960) demostró que el invariante de Kervaire es cero para variedades de dimensión 10, 18.
- Kervaire y Milnor (1963) demostraron que el invariante de Kervaire puede ser distinto de cero para variedades de dimensión 6, 14
- Anderson, Brown y Peterson (1966) demostró que el invariante de Kervaire es cero para variedades de dimensión 8 n +2 para n > 1
- Mahowald y Tangora (1967) demostraron que el invariante de Kervaire puede ser distinto de cero para variedades de dimensión 30
- Browder (1969) demostró que el invariante de Kervaire es cero para variedades de dimensión n no de la forma 2 k - 2 .
- Barratt, Jones y Mahowald (1984) demostraron que el invariante de Kervaire es distinto de cero para alguna variedad de dimensión 62. Posteriormente, Xu (2016) dio una prueba alternativa .
- Hill, Hopkins y Ravenel (2016) demostraron que el invariante de Kervaire es cero para variedades enmarcadas n- dimensionales para n = 2 k - 2 con k ≥ 8. Construyeron una teoría de cohomología Ω con las siguientes propiedades de las que se desprende inmediatamente su resultado:
- Los grupos de coeficientes Ω n (punto) tienen un período 2 8 = 256 en n
- Los grupos de coeficientes Ω n (punto) tienen una "brecha": desaparecen para n = -1, -2 y -3
- Los grupos de coeficientes Ω n (punto) pueden detectar invariantes de Kervaire que no desaparecen: más precisamente, si el invariante de Kervaire para variedades de dimensión n es distinto de cero, entonces tiene una imagen distinta de cero en Ω - n (punto)
Invariante de Kervaire-Milnor
El invariante de Kervaire-Milnor es un invariante estrechamente relacionado de la cirugía enmarcada de una variedad enmarcada de 2, 6 o 14 dimensiones, que da isomorfismos del segundo y sexto grupo de esferas de homotopía estable a, y un homomorfismo del decimocuarto grupo de esferas de homotopía estable en . Para n = 2, 6, 14 hay un encuadre exótico en con invariante 1 de Kervaire-Milnor.
Ver también
- Firma , un invariante 4 k- dimensional
- Invariante de De Rham , invariante a (4 k + 1) -dimensional
Referencias
- ^ comentario de André Henriques 1 de julio de 2012 a las 19:26, sobre " Invariante de Kervaire: ¿Por qué la dimensión 126 es especialmente difícil? ", MathOverflow
- Barratt, Michael G .; Jones, JDS; Mahowald, Mark E. (1984). "Relaciones entre paréntesis de Toda y el invariante de Kervaire en la dimensión 62". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . 2. 30 (3): 533–550. CiteSeerX 10.1.1.212.1163 . doi : 10.1112 / jlms / s2-30.3.533 . Señor 0810962 .
- Browder, William (1969). "El invariante de Kervaire de variedades enmarcadas y su generalización". Annals of Mathematics . 90 (1): 157-186. doi : 10.2307 / 1970686 . JSTOR 1970686 .
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- Snaith, Victor P. (2010), The Arf-Kervaire Invariant of framed manifolds , arXiv : 1001.4751 , Bibcode : 2010arXiv1001.4751S
- Xu, Zhouli (2016), "The Strong Kervaire invariant problem in dimension 62", Geometry & Topology , 20 , arXiv : 1410.6199 , doi : 10.2140 / gt.2016.20.1611 , MR 3523064
enlaces externos
- Diapositivas y video de la conferencia de Hopkins en Edimburgo, 21 de abril de 2009
- Página de inicio de Arf-Kervaire de Doug Ravenel
- Seminario de verano de Harvard-MIT sobre la invariante de Kervaire
- 'Kervaire Invariant One Problem' Resuelto , 23 de abril de 2009, publicación de blog de John Baez y discusión, The n-Category Café
- Esferas exóticas en el atlas múltiple
Historias de noticias populares
- Hypersphere Exotica: ¡El problema invariable de Kervaire tiene una solución! Un problema de 45 años sobre esferas de dimensiones superiores está resuelto, probablemente por Davide Castelvecchi, agosto de 2009 Scientific American
- Bola, Philip (2009). "Enigma oculto de formas resuelto". Naturaleza . doi : 10.1038 / news.2009.427 .
- Matemáticos resuelven un rompecabezas invariante de Kervaire de 45 años , Erica Klarreich, 20 de julio de 2009