En notación matemática para números , una representación de dígitos con signo es un sistema de numeración posicional con un conjunto de dígitos con signo que se utiliza para codificar los números enteros .
La representación de dígitos con signo se puede usar para lograr una suma rápida de números enteros porque puede eliminar cadenas de acarreos dependientes. [1] En el sistema de numeración binaria , una representación de dígitos con signo de caso especial es la forma no adyacente , que puede ofrecer beneficios de velocidad con una sobrecarga de espacio mínima.
Historia
Los desafíos en el cálculo estimularon a los primeros autores Colson (1726) y Cauchy (1840) a utilizar la representación de dígitos con signo. Selling (1887) y Cajori (1928) sugirieron el paso adicional de reemplazar dígitos negados por otros nuevos.
En 1928, Florian Cajori notó el tema recurrente de los dígitos firmados, comenzando con Colson (1726) y Cauchy (1840). [2] En su libro Historia de las notaciones matemáticas , Cajori tituló la sección "Números negativos". [3] Para completar, Colson [4] usa ejemplos y describe la suma (págs. 163–4), la multiplicación (págs. 165–6) y la división (págs. 170–1) usando una tabla de múltiplos del divisor. Explica la conveniencia de la aproximación por truncamiento en la multiplicación. Colson también ideó un instrumento (tabla de conteo) que calcula utilizando dígitos con signo.
Eduard Selling [5] abogó por invertir los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5 para indicar el signo negativo. También sugirió Snie , jes , jerd , Reff , y niff como nombres para usar vocalmente. La mayoría de las otras fuentes tempranas usaban una barra sobre un dígito para indicar un signo negativo para un it. Otro uso alemán de dígitos con signo se describió en 1902 en la enciclopedia de Klein . [6]
Definición y propiedades
Conjunto de dígitos
Dejar ser un conjunto finito de dígitos numéricos con cardinalidad (Si , entonces el sistema numérico posicional es trivial y solo representa el anillo trivial ), con cada dígito denotado como por se conoce como raíz o base numérica .se puede utilizar para una representación de dígitos con signo si está asociada con una función única tal que para todos Esta función, es lo que establece de manera rigurosa y formal cómo se asignan valores enteros a los símbolos / glifos en Un beneficio de este formalismo es que la definición de "los números enteros" (como quiera que se definan) no se combina con ningún sistema particular para escribirlos / representarlos; de esta manera, estos dos conceptos distintos (aunque estrechamente relacionados) se mantienen separados.
se puede dividir en tres conjuntos distintos, , y , que representan los dígitos positivo, cero y negativo respectivamente, de modo que todos los dígitos satisfacer , todos los dígitos satisfacer y todos los dígitos satisfacer . La cardinalidad de es , la cardinalidad de es , y la cardinalidad de es , dando el número de dígitos positivos y negativos respectivamente, de modo que .
Representaciones de forma equilibrada
Las representaciones de forma equilibrada son representaciones donde para cada dígito positivo , existe un dígito negativo correspondiente tal que . Resulta que. Solo las bases impares pueden tener representaciones de forma equilibrada, como cuando luego será un número impar . En forma equilibrada, los dígitos negativos generalmente se denotan como dígitos positivos con una barra sobre el dígito, como por . Por ejemplo, el conjunto de dígitos de ternario equilibrado sería con , , y . Esta convención se adopta en campos finitos de orden primo impar: [7]
Representación de dos dígitos con signo
Cada conjunto de dígitos tiene un conjunto de dos dígitosdado por el orden inverso de los dígitos con un isomorfismo definido por . Como resultado, para cualquier representación de dígitos firmadosde un anillo de sistema numérico construido a partir de con valoración , existe una representación de dos dígitos con signo de , , construido a partir de con valoración y un isomorfismo definido por , dónde es el operador inverso aditivo de . El conjunto de dígitos para las representaciones de forma equilibrada es auto-dual .
Para enteros
Dado el conjunto de dígitos y función como se definió anteriormente, definamos una endofunción entera como el seguiente:
Si el único punto periódico dees el punto fijo , luego el conjunto de todas las representaciones de dígitos con signo de los enteros utilizando es dado por el Kleene plus , el conjunto de todas las cadenas de dígitos concatenados finitos con al menos un dígito, con . Cada representación de dígitos firmadostiene una valoración
- .
Los ejemplos incluyen ternario equilibrado con dígitos.
De lo contrario, si existe un punto periódico distinto de cero de, entonces existen enteros que están representados por un número infinito de dígitos distintos de cero en . Los ejemplos incluyen el sistema de numeración decimal estándar con el conjunto de dígitos, que requiere un número infinito de dígitos para representar el inverso aditivo , como , y el sistema numérico posicional con el conjunto de dígitos con , que requiere un número infinito de dígitos para representar el número , como .
Para fracciones decimales
Si los números enteros pueden ser representados por Kleene más , luego el conjunto de todas las representaciones de dígitos con signo de las fracciones decimales , o B {\ Displaystyle b} -racionales ádicos , es dado por , el producto cartesiano de Kleene plus , el conjunto de todas las cadenas de dígitos concatenados finitoscon al menos un dígito, el singleton que consiste en el punto de la base ( o ) y la estrella de Kleene , el conjunto de todas las cadenas de dígitos concatenados finitos, con . Cada representación de dígitos firmadostiene una valoración
Para números reales
Si los números enteros pueden ser representados por Kleene más , entonces el conjunto de todas las representaciones de dígitos con signo de los números reales es dado por , el producto cartesiano de Kleene plus , el conjunto de todas las cadenas de dígitos concatenados finitoscon al menos un dígito, el singleton que consiste en el punto de la base ( o ), y el espacio Cantor , el conjunto de todas las cadenas infinitas de dígitos concatenados, con . Cada representación de dígitos firmadostiene una valoración
- .
La serie infinita siempre converge a un número real finito.
Para otros sistemas numéricos
Todo base Los numerales se pueden representar como un subconjunto de , el conjunto de todas las secuencias de dígitos doblemente infinitas en, dónde es el conjunto de enteros , y el anillo de base-los números están representados por el anillo formal de la serie de poder , la serie doblemente infinita
dónde por .
Modulo de enteros
El conjunto de todas las representaciones de dígitos con signo del módulo de números enteros B norte {\ Displaystyle b ^ {n}} , está dado por el conjunto , el conjunto de todas las cadenas de dígitos concatenados finitos de longitud , con . Cada representación de dígitos firmadostiene una valoración
Grupos de Prüfer
Un grupo Prüfer es el grupo cociente de los enteros y el -racionales ádicos. El conjunto de todas las representaciones de dígitos con signo del grupo Prüfer viene dado por la estrella de Kleene , el conjunto de todas las cadenas de dígitos concatenados finitos, con . Cada representación de dígitos firmadostiene una valoración
Grupo circular
El grupo circular es el grupo cocientede los enteros y los números reales. El conjunto de todas las representaciones de dígitos con signo del grupo circular viene dado por el espacio de Cantor , el conjunto de todas las cadenas de dígitos concatenadas a la derecha . Cada representación de dígitos firmadostiene una valoración
La serie infinita siempre converge .
-enteros ádicos
El conjunto de todas las representaciones de dígitos con signo del B {\ Displaystyle b} -enteros ádicos ,está dado por el espacio de Cantor , el conjunto de todas las cadenas de dígitos concatenadas infinitas a la izquierda . Cada representación de dígitos firmadostiene una valoración
-solenoides ádicos
El conjunto de todas las representaciones de dígitos con signo del B {\ Displaystyle b} -solenoides ádicos ,está dado por el espacio de Cantor , el conjunto de todas las cadenas de dígitos concatenados doblemente infinitos. Cada representación de dígitos firmadostiene una valoración
En lenguaje hablado y escrito
Las formas orales y escritas de los números en el idioma punjabi utilizan una forma de un número negativo escrito como una o un . [8] Este negativo se usa para formar 19, 29,…, 89 a partir de la raíz de 20, 30,…, 90. Explícitamente, aquí están los números:
- 19 unni, 20 vih, 21 ikki
- 29 unatti, 30 tih, 31 ikatti
- 39 untali, 40 chali, 41 iktali
- 49 unanja, 50 panjah, 51 ikvanja
- 59 unhat, 60 sath, 61 ikahat
- 69 unattar, 70 sattar, 71 ikhattar
- 79 unasi, 80 assi, 81 ikiasi
- 89 unanve, 90 nabbe, 91 ikinnaven.
Del mismo modo, el idioma sesotho utiliza números negativos para formar 8 y 9.
- 8 robeli (/ Ro-bay-dee /) que significa "romper dos", es decir, dos dedos hacia abajo
- 9 robong (/ Ro-bong /) que significa "romper uno", es decir, un dedo hacia abajo
Latín clásico - Antigua Roma
En el latín clásico, [9] los enteros 18 y 19 ni siquiera tenían una forma hablada ni escrita que incluyera las partes correspondientes para "ocho" o "nueve" en la práctica, a pesar de que existían. En cambio, en latín clásico,
- 18 = duodēvīgintī ("dos tomados de veinte"), (IIXX o XIIX),
- 19 = ūndēvīgintī ("uno tomado de veinte"), (IXX o XIX)
- 20 = vīgintī ("veinte"), (XX).
Para los próximos números enteros [28, 29, 38, 39, ..., 88, 89], la forma aditiva en el idioma había sido mucho más común, sin embargo, para los números enumerados, la forma anterior seguía siendo la preferida. Por lo tanto, acercándose a treinta, los números se expresaron como: [10]
- 28 = duodētrīgintā ("dos tomados de treinta"), con menos frecuencia también vīgintī octō / octō et vīgintī ("veintiocho / ocho y veinte"), (IIXXX o XXIIX versus XXVIII, este último ha sido completamente superado).
- 29 = ūndētrīgintā ("uno tomado de treinta") a pesar de que la forma menos preferida también estaba a su disposición.
Este es uno de los principales fundamentos del razonamiento de los historiadores contemporáneos, que explica por qué el I y el II sustractivo eran tan comunes en este rango de cardenales en comparación con otros rangos. Los números 98 y 99 también podrían expresarse en ambas formas, sin embargo, "dos a cien" podría haber sonado un poco extraño; una prueba clara es la escasa aparición de estos números escritos de manera sustractiva en fuentes auténticas.
En el idioma finlandés
Hay otro idioma que tiene esta característica (por ahora, solo en trazas), sin embargo, todavía está en uso activo en la actualidad. Este es el idioma finlandés , donde los números (deletreados) se usan de esta manera en caso de que aparezca un dígito de 8 o 9. El esquema es así: [11]
- 1 = "yksi" (Nota: yhd- o yht- principalmente cuando están a punto de ser rechazados; por ejemplo, "yhdessä" = "juntos, como una [entidad]")
- 2 = "kaksi" (también tenga en cuenta: kahde-, kahte- cuando se rechace)
- 3 = "kolme"
- 4 = "neljä"
...
- 7 = "seitsemän"
- 8 = "kah (d) eksan" (quedan dos [para que lo alcance])
- 9 = "yh (d) eksän" (queda uno [para que lo alcance])
- 10 = "kymmenen" (diez)
La lista anterior no es un caso especial, por lo tanto, también aparece en cardenales más grandes, por ejemplo:
- 399 = "kolmesataayhdeksänkymmentäyhdeksän"
El énfasis en estos atributos permanece presente incluso en las formas coloquiales más cortas de los números:
- 1 = "aa"
- 2 = "kaa"
- 3 = "koo"
...
- 7 = "seiska"
- 8 = "kasi"
- 9 = "ysi"
- 10 = "kymppi"
Sin embargo, este fenómeno no tiene influencia en los números escritos, los finlandeses usan la notación decimal estándar árabe occidental.
En el idioma inglés es común referirse a tiempos como, por ejemplo, 'siete hasta tres', 'til' que realiza la negación.
Otros sistemas
Existen otras bases de dígitos con signo de modo que la base . Un ejemplo notable de esto es la codificación de cabina , que tiene un conjunto de dígitos con y , pero que usa una base . El sistema de numeración binario estándar solo usaría dígitos de valor.
Tenga en cuenta que las representaciones de dígitos con signo no estándar no son únicas. Por ejemplo:
La forma no adyacente (NAF) de la codificación de Booth garantiza una representación única para cada valor entero. Sin embargo, esto solo se aplica a valores enteros. Por ejemplo, considere los siguientes números binarios repetidos en NAF,
Ver también
- Ternario equilibrado
- Base negativa
- Representación binaria redundante
notas y referencias
- ^ Dhananjay Phatak, I. Koren (1994) Sistemas de números de dígitos firmados híbridos: un marco unificado para representaciones de números redundantes con cadenas de propagación de acarreo limitadas
- ↑ Augustin-Louis Cauchy (16 de noviembre de 1840) "Sur les moyens d'eviter les erreurs dans les calculs numerique", Comptes rendus 11: 789. También se encuentra en Oevres completa Ser. 1, vol. 5, págs. 434–42.
- ^ Cajori, Florian (1993) [1928-1929]. Una historia de notaciones matemáticas . Publicaciones de Dover . pag. 57 . ISBN 978-0486677668.
- ^ John Colson (1726) "Una breve descripción de Negativo-Affirmativo Arithmetik", Transacciones filosóficas de la Royal Society 34: 161-173. Disponible como contenido de revista inicial de JSTOR
- ^ Eduard Selling (1887) Eine neue Rechenmachine , págs. 15-18, Berlín
- ^ Rudolf Mehmke (1902) "Numerisches Rechen", §4 Beschränkung in den verwendeten Ziffern, Enciclopedia de Klein , I-2, p. 944.
- ^ Hirschfeld, JWP (1979). Geometrías proyectivas sobre campos finitos . Prensa de la Universidad de Oxford . pag. 8. ISBN 978-0-19-850295-1.
- ^ Números de Punjabi de Quizlet
- ^ [1] de J. Matthew Harrington Ph.D. - Sinopsis de Ancient LatinGrammar
- ^ [2] de Wikcionario en inglés
- ^ [3] de Kielitoimiston sanakirja
- JP Balantine (1925) "Un dígito para el negativo", American Mathematical Monthly 32: 302.
- Lui Han, Dongdong Chen, Seok-Bum Ko, Khan A. Wahid "Sumador de dígitos con signo decimal no especulativo" del Departamento de Ingeniería Eléctrica e Informática de la Universidad de Saskatchewan .