endomorfismo
En matemáticas , un endomorfismo es un morfismo de un objeto matemático a sí mismo. Un endomorfismo que también es un isomorfismo es un automorfismo . Por ejemplo, un endomorfismo de un espacio vectorial V es una aplicación lineal f : V → V , y un endomorfismo de un grupo G es un homomorfismo de grupo f : G → G . En general, podemos hablar de endomorfismos en cualquier categoría . En la categoría de conjuntos, los endomorfismos son funciones de un conjunto S a sí mismo.
En cualquier categoría, la composición de dos endomorfismos de X es nuevamente un endomorfismo de X. De ello se deduce que el conjunto de todos los endomorfismos de X forma un monoide , el monoide de transformación completa , y se denota End( X ) (o End C ( X ) para enfatizar la categoría C ).
Un endomorfismo invertible de X se llama automorfismo . El conjunto de todos los automorfismos es un subconjunto de End( X ) con una estructura de grupo , llamado grupo de automorfismos de X y denotado Aut( X ) . En el siguiente diagrama, las flechas indican implicación:
Dos endomorfismos cualesquiera de un grupo abeliano , A , pueden sumarse mediante la regla ( f + g )( a ) = f ( a ) + g ( a ) . Bajo esta adición, y definiéndose la multiplicación como composición de funciones, los endomorfismos de un grupo abeliano forman un anillo (el anillo de endomorfismos ). Por ejemplo, el conjunto de endomorfismos de ℤ n es el anillo de todas las matrices n × n con número enteroentradas. Los endomorfismos de un espacio vectorial o módulo también forman un anillo, al igual que los endomorfismos de cualquier objeto en una categoría preaditiva . Los endomorfismos de un grupo no abeliano generan una estructura algebraica conocida como anillo cercano . Todo anillo con uno es el anillo de endomorfismo de su módulo regular , y también lo es un subanillo de un anillo de endomorfismo de un grupo abeliano; [1] sin embargo, hay anillos que no son el anillo de endomorfismo de ningún grupo abeliano.
En cualquier categoría concreta , especialmente para espacios vectoriales , los endomorfismos son aplicaciones de un conjunto en sí mismo, y pueden interpretarse como operadores unarios sobre ese conjunto, actuando sobre los elementos, y permitiendo definir la noción de órbitas de los elementos, etc.
Dependiendo de la estructura adicional definida para la categoría en cuestión ( topología , métrica , ...), dichos operadores pueden tener propiedades como continuidad , acotación , etc. Se deben encontrar más detalles en el artículo sobre la teoría del operador .
