seno y coseno

En matemáticas , el seno y el coseno son funciones trigonométricas de un ángulo . El seno y el coseno de un ángulo agudo se definen en el contexto de un triángulo rectángulo : para el ángulo especificado, su seno es la relación entre la longitud del lado opuesto a ese ángulo y la longitud del lado más largo del triángulo ( la hipotenusa ), y el coseno es la razón de la longitud del cateto adyacente a la de la hipotenusa . Para un ángulo , las funciones seno y coseno se denotan simplemente como y . [1]

De manera más general, las definiciones de seno y coseno se pueden extender a cualquier valor real en términos de las longitudes de ciertos segmentos de línea en un círculo unitario . Las definiciones más modernas expresan el seno y el coseno como series infinitas , o como las soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales , lo que permite su extensión a valores arbitrarios positivos y negativos e incluso a números complejos .

Las funciones de seno y coseno se usan comúnmente para modelar fenómenos periódicos como ondas de luz y sonido , la posición y velocidad de los osciladores armónicos, la intensidad de la luz solar y la duración del día, y las variaciones de temperatura promedio a lo largo del año. Se pueden rastrear hasta las funciones jyā y koṭi-jyā utilizadas en la astronomía india durante el período Gupta .

A menudo, si el argumento es lo suficientemente simple, el valor de la función se escribirá sin paréntesis, como sin θ en lugar de como sin( θ ) .

Cada uno de seno y coseno es una función de un ángulo, que generalmente se expresa en términos de radianes o grados . Excepto donde se indique explícitamente lo contrario, este artículo asume que el ángulo se mide en radianes.

Para definir el seno y el coseno de un ángulo agudo α , comience con un triángulo rectángulo que contenga un ángulo de medida α ; en la figura adjunta, el ángulo α en el triángulo ABC es el ángulo de interés. Los tres lados del triángulo se nombran de la siguiente manera:

Para el ángulo α , la función seno da la relación entre la longitud del lado opuesto y la longitud de la hipotenusa.
Círculo unitario: un círculo con radio uno
La función seno (azul) se aproxima mucho por su polinomio de Taylor de grado 7 (rosa) para un ciclo completo centrado en el origen.
Esta animación muestra cómo incluir más y más términos en la suma parcial de su serie de Taylor se aproxima a una curva sinusoidal.
Los valores principales habituales de las funciones arcsin( x ) y arccos( x ) representadas gráficamente en el plano cartesiano
Función seno en azul y función seno al cuadrado en rojo. El eje X está en radianes.
Los cuatro cuadrantes de un sistema de coordenadas cartesianas
Los cuadrantes del círculo unitario y de sin( x ), utilizando el sistema de coordenadas cartesianas
La iteración de punto fijo x n +1  = cos( x n ) con valor inicial x 0  = −1 converge al número de Dottie.
Algunos ángulos comunes ( θ ) mostrados en el círculo unitario . Los ángulos se dan en grados y radianes, junto con el punto de intersección correspondiente en el círculo unitario, (cos( ​​θ ), sin( θ )).
y son las partes real e imaginaria de .
Coloración del dominio de sin( z ) en el plano complejo. El brillo indica la magnitud absoluta, el tono representa un argumento complejo.
sin( z ) como campo vectorial
Cuadrante de la Turquía otomana de la década de 1840 con ejes para buscar el seno y el versine de los ángulos