En matemáticas , los operadores integrales singulares en curvas cerradas surgen en problemas de análisis , en particular análisis complejo y análisis armónico . Los dos principales operadores integrales singulares, la transformada de Hilbert y la transformada de Cauchy, se pueden definir para cualquier curva de Jordan suave en el plano complejo y están relacionados mediante una fórmula algebraica simple. En el caso especial de la serie de Fourier para el círculo unitario, los operadores se convierten en la transformada clásica de Cauchy , la proyección ortogonal en el espacio de Hardy y la transformada de Hilbert en un ortogonal real.estructura compleja lineal . En general, la transformada de Cauchy es un idempotente no autoadjunto y la transformada de Hilbert una estructura compleja no ortogonal . El rango de la transformada de Cauchy es el espacio de Hardy de la región acotada por la curva de Jordan. La teoría de la curva original se puede deducir de la del círculo unitario, donde, debido a la simetría rotacional, ambos operadores son operadores integrales singulares clásicos de tipo convolución . La transformada de Hilbert satisface las relaciones de salto de Plemelj y Sokhotski, que expresan la función original como la diferencia entre los valores límite de las funciones holomorfas en la región y su complemento. Los operadores integrales singulares se han estudiado en varias clases de funciones, incluidos los espacios Hőlder, los espacios L p y los espacios Sobolev. En el caso de los espacios L 2 , el caso que se trata en detalle a continuación, otros operadores asociados con la curva cerrada, como la proyección de Szegő en el espacio de Hardy y el operador de Neumann-Poincaré , se pueden expresar en términos de la transformada de Cauchy y su adjunto. .
El espacio de Hardy H 2 ( T ) consta de las funciones para las cuales desaparecen los coeficientes negativos, a n = 0 para n <0. Estas son precisamente las funciones cuadradas integrables que surgen como valores límite de funciones holomórficas en el disco unitario | z | <1. De hecho, f es el valor límite de la función
La proyección ortogonal P de L 2 ( T ) sobre H 2 ( T ) se llama proyección Szegő . Es un operador acotado en L 2 ( T ) con norma de operador 1.
Cuando r es igual a 1, el integrando del lado derecho tiene una singularidad en θ = 0. La transformada de Hilbert truncada se define por
donde δ = | 1 - e i ε |. Dado que se define como convolución con una función acotada, es un operador acotado en L 2 ( T ). Ahora
Esto es una consecuencia del resultado para polinomios trigonométricos ya que los H ε están uniformemente acotados en la norma del operador : de hecho, sus coeficientes de Fourier están uniformemente acotados.