En matemáticas , los operadores integrales singulares de tipo convolución son los operadores integrales singulares que surgen en R n y T n a través de la convolución por distribuciones; de manera equivalente, son los operadores integrales singulares que conmutan con traducciones. Los ejemplos clásicos en el análisis armónico son el operador de conjugación armónica en el círculo, la transformada de Hilbert en el círculo y la línea real, la transformada de Beurling en el plano complejo y las transformadas de Riesz en el espacio euclidiano. La continuidad de estos operadores en L2 es evidente porque la transformada de Fourier los convierte en operadores de multiplicación . La continuidad en los espacios L p fue establecida por primera vez por Marcel Riesz . Las técnicas clásicas incluyen el uso de integrales de Poisson , la teoría de interpolación y la función máxima de Hardy-Littlewood . Para operadores más generales, varios autores desarrollaron nuevas técnicas fundamentales, introducidas por Alberto Calderón y Antoni Zygmund en 1952, para dar criterios generales de continuidad en L pespacios. Este artículo explica la teoría de los operadores clásicos y esboza la teoría general posterior.
La teoría de las funciones L 2 es particularmente simple en el círculo. [1] [2] Si f ∈ L 2 ( T ), entonces tiene una expansión de la serie de Fourier
El espacio de Hardy H 2 ( T ) consta de las funciones para las cuales los coeficientes negativos desaparecen, a n = 0 para n <0. Estas son precisamente las funciones cuadradas integrables que surgen como valores límite de funciones holomórficas en el disco unitario abierto. De hecho, f es el valor límite de la función
La proyección ortogonal P de L 2 ( T ) sobre H 2 ( T ) se llama proyección Szegő . Es un operador acotado en L 2 ( T ) con norma de operador 1. Según el teorema de Cauchy
Cuando r = 1, el integrando del lado derecho tiene una singularidad en θ = 0. La transformada de Hilbert truncada se define por
donde δ = | 1 cursiva - e es |. Dado que se define como convolución con una función acotada, es un operador acotado en L 2 ( T ). Ahora