En geometría diferencial , un cáustico es la envolvente de los rayos o bien reflejadas o refractadas por un colector . Está relacionado con el concepto de cáustica en óptica geométrica . La fuente del rayo puede ser un punto (llamado radiante) o rayos paralelos desde un punto en el infinito, en cuyo caso se debe especificar un vector de dirección de los rayos.
Cáustico reflectante generado a partir de un
círculo y rayos paralelos.
De manera más general, especialmente cuando se aplica a la geometría simpléctica y la teoría de la singularidad , un cáustico es el conjunto de valores críticos de un mapeo lagrangiano ( π ○ i ): L ↪ M ↠ B ; donde i : L ↪ M es un inmersión de Lagrange de un subvariedad de Lagrange L en una variedad simpléctica M , y π : M ↠ B es un fibración de Lagrange de la simpléctico colector M . El cáustica es un subconjunto de la función de Lagrange fibración 's espacio base B . [1]
Un catacáustico es el caso reflectante.
Con una radiante, es la evoluta de la orthotomic del radiante.
El caso de rayos de fuente paralelos planos: suponga que el vector de dirección es y la curva de espejo se parametriza como . El vector normal en un punto es; el reflejo del vector de dirección es (lo normal necesita una normalización especial)
Tener componentes del vector reflejado encontrado tratarlo como una tangente
Usando el más simple envolvente forma
que puede ser antiestético, pero da un sistema lineal enpor lo que es elemental obtener una parametrización de la catacáustica. La regla de Cramer serviría.
Ejemplo
Sea el vector de dirección (0,1) y el espejo sea Luego
-
y tiene solución ; es decir , la luz que entra en un espejo parabólico paralelo a su eje se refleja a través del foco.