función de tamaño

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Las funciones de tamaño son descriptores de forma, en un sentido geométrico/topológico. Son funciones del semiplano a los números naturales, contando ciertas componentes conexas de un espacio topológico . Se utilizan en reconocimiento de patrones y topología .${\displaystyle x<y}$

En la teoría del tamaño , la función de tamaño asociada con el par de tamaños se define de la siguiente manera. Para cada , es igual al número de componentes conexas del conjunto que contienen al menos un punto en el que la función de medida (una función continua desde un espacio topológico hasta ^{[1] [2]} ) toma un valor menor o igual que . ^[3] El concepto de función de tamaño se puede extender fácilmente al caso de una función de medida , donde está dotada del orden parcial habitual. ^[4]${\displaystyle \ell _{(M,\varphi )}:\Delta ^{+}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x<y\}\to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (M,\varphi :M\to \mathbb {R} )}$${\displaystyle (x,y)\in \Delta ^{+}}$${\displaystyle \ell _{(M,\varphi )}(x,y)}$${\displaystyle \{p\in M:\varphi (p)\leq y\}}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \varphi :M\to \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ Se puede encontrar una encuesta sobre funciones de tamaño (y teoría de tamaño ) en. ^[5]

Las funciones de tamaño se introdujeron en ^[6] para el caso particular de igual al espacio topológico de todos los caminos cerrados por tramos en una variedad cerrada incrustada en un espacio euclidiano. Aquí, la topología on es inducida por la norma -, mientras que la función de medición lleva cada camino a su longitud. En ^[7] se considera el caso de igual al espacio topológico de todas las -tuplas ordenadas de puntos en una subvariedad de un espacio euclidiano. Aquí la topología es inducida por la métrica .${\displaystyle M}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \gamma \in M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$${\displaystyle d((P_{1},\ldots ,P_{k}),(Q_{1}\ldots ,Q_{k}))=\max _{1\leq i\leq k}\|P_{i}-Q_{i}\|}$

^{En [2]} se hizo una extensión del concepto de función de tamaño a la topología algebraica , donde se introdujo el concepto de grupo de homotopía de tamaño . Aquí se permiten funciones de medición que toman valores . En . _ _ _ ^[8] Los conceptos de grupo de homotopía de tamaño y funtor de tamaño están estrictamente relacionados con el concepto de grupo de homología persistente ^[9] estudiado en homología persistente . Vale la pena señalar que la función de tamaño es el rango de la${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle 0}$-th grupo de homología persistente, mientras que la relación entre el grupo de homología persistente y el grupo de homotopía de tamaño es análoga a la que existe entre los grupos de homología y los grupos de homotopía .

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