Forma sesquilineal
En matemáticas , una forma sesquilineal es una generalización de una forma bilineal que, a su vez, es una generalización del concepto del producto escalar del espacio euclidiano . Una forma bilineal es lineal en cada uno de sus argumentos, pero una forma sesquilineal permite "torcer" uno de los argumentos de manera semilineal , de ahí el nombre; que se origina del prefijo numérico latino sesqui- que significa "uno y medio". El concepto básico del producto escalar: producir un escalarde un par de vectores – puede generalizarse permitiendo un rango más amplio de valores escalares y, quizás simultáneamente, ampliando la definición de un vector.
Un caso especial motivador es una forma sesquilineal en un espacio vectorial complejo , V. Este es un mapa V × V → C que es lineal en un argumento y "tuerce" la linealidad del otro argumento por conjugación compleja (referido como antilineal en el otro argumento). Este caso surge naturalmente en las aplicaciones de la física matemática. Otro caso importante permite que los escalares provengan de cualquier campo y el giro lo proporciona un automorfismo de campo .
Una aplicación en geometría proyectiva requiere que los escalares provengan de un anillo de división (campo sesgado), K , y esto significa que los "vectores" deben ser reemplazados por elementos de un módulo K. En un entorno muy general, las formas sesquilineales se pueden definir sobre módulos R para anillos R arbitrarios .
Las formas sesquilineales abstraen y generalizan la noción básica de una forma hermítica en un espacio vectorial complejo . Las formas hermitianas se ven comúnmente en física , como el producto interno en un espacio de Hilbert complejo . En tales casos, la forma hermitiana estándar en C n viene dada por
donde denota el conjugado complejo de Este producto puede generalizarse a situaciones en las que no se trabaja con una base ortonormal para C n , o incluso con ninguna base. Al insertar un factor adicional de en el producto, se obtiene la forma sesgada-hermitiana , definida con mayor precisión a continuación. No hay ninguna razón particular para restringir la definición a los números complejos; se puede definir para anillos arbitrarios que llevan un antiautomorfismo , entendido informalmente como un concepto generalizado de "conjugación compleja" para el anillo.
Las convenciones difieren en cuanto a qué argumento debe ser lineal. En el caso conmutativo, tomaremos la primera como lineal, como es habitual en la literatura matemática, excepto en el apartado dedicado a las formas sesquilineales en espacios vectoriales complejos. Allí usamos la otra convención y tomamos el primer argumento como lineal conjugado (es decir, antilineal) y el segundo como lineal. Esta es la convención utilizada principalmente por los físicos [1] y se origina en la notación de corchetes de Dirac en la mecánica cuántica .