En álgebra lineal , en particular la geometría proyectiva , un mapa semilineal entre espacios vectoriales V y W sobre un campo K es una función que es un mapa lineal "hasta un toque", por lo tanto semi -linear, donde los medios "twist" " automorphism campo de K ". Explícitamente, es una función T : V → W que es:
- aditivo con respecto a la suma de vectores:
- existe un automorfismo de campo θ de K tal que, dónde es la imagen del escalar bajo el automorfismo. Si existe tal automorfismo y T es distinto de cero, es único y T se llama θ-semilineal.
Cuando el dominio y el codominio son el mismo espacio (es decir, T : V → V ), puede denominarse transformación semilineal . Las transformadas semilineales invertibles de un espacio vectorial dado V (para todas las opciones de automorfismo de campo) forman un grupo, llamado grupo semilineal general y denotadopor analogía con y ampliando el grupo lineal general . En el caso especial en el que el campo son los números complejos ℂ y el automorfismo es una conjugación compleja , un mapa semilineal se llama mapa antilineal .
Se usa una notación similar (reemplazando caracteres latinos por griegos) para análogos semilineales de transformada lineal más restringida; formalmente, el producto semidirecto de un grupo lineal con el grupo de Galois de automorfismo de campo. Por ejemplo, PΣU se utiliza para los análogos semilineales del grupo unitario especial proyectivo PSU. Sin embargo, tenga en cuenta que solo recientemente se ha observado que estos grupos semilineales generalizados no están bien definidos, como se señala en ( Bray, Holt y Roney-Dougal 2009 ) - los grupos clásicos isomorfos G y H (subgrupos de SL) pueden tener no- extensiones semilineales isomorfas. A nivel de productos semidirectos, esto corresponde a diferentes acciones del grupo de Galois sobre un grupo abstracto dado, un producto semidirecto en función de dos grupos y una acción. Si la extensión no es única, hay exactamente dos extensiones semilineales; por ejemplo, los grupos simplécticos tienen una extensión semilineal única, mientras que SU ( n , q ) tiene dos extensiones si n es par yq es impar, y lo mismo ocurre con PSU.
Definición
Un mapa f : V → W para los espacios vectoriales V y W sobre los campos K y L respectivamente es σ -semilineal, o simplemente semilineal , si existe un homomorfismo de campo σ : K → L tal que para todo x , y en V y λ en K sostiene que
Una incrustación dada σ de un campo K en L nos permite identificar K con un subcampo de L , haciendo un mapa σ -semilineal un mapa K - lineal bajo esta identificación. Sin embargo, un mapa que es τ -semilineal para una incrustación distinta τ ≠ σ no será K- lineal con respecto a la identificación original σ , a menos que f sea idénticamente cero.
De manera más general, un mapa ψ : M → N entre un módulo R derecho - M y un módulo S izquierdo N es σ - semilineal si existe un antihomomorfismo en anillo σ : R → S tal que para todo x , y en M y λ en R sostiene que
El término semilineal se aplica a cualquier combinación de módulos izquierdo y derecho con un ajuste adecuado de las expresiones anteriores, siendo σ un homomorfismo según sea necesario. [1] [2]
El par ( ψ , σ ) se conoce como dimorfismo . [3]
Relacionados
Transponer
Sea σ : R → S un isomorfismo de anillo, M un módulo R derecho y N un módulo S derecho , y ψ : M → N un mapa σ -semilineal. Definimos la transposición de ψ como el mapeo t ψ : N ∗ → M ∗ que satisface [4]
Este es un mapa σ −1 -semilineal.
Propiedades
Sea σ : R → S un isomorfismo de anillo, M un módulo R derecho y N un módulo S derecho , y ψ : M → N un mapa σ -semilineal. El mapeo
define una forma R lineal. [5]
Ejemplos de
- Dejar con base estándar . Definir el mapa por
- f es semilineal (con respecto al automorfismo del campo de conjugación complejo) pero no lineal.
- Dejar - el campo de orden de Galois , p la característica. Dejar. Por el sueño del estudiante de primer año se sabe que se trata de un automorfismo de campo. A cada mapa linealentre los espacios vectoriales V y W sobre K podemos establecer un-mapa semilineal
- De hecho, cada mapa lineal se puede convertir en un mapa semilineal de esa manera. Esto es parte de una observación general recopilada en el siguiente resultado.
Grupo semilineal general
Dado un espacio vectorial V , el conjunto de todas las transformaciones semilineales invertibles V → V (sobre todos los automorfismos de campo) es el grupo ΓL ( V ).
Dado un espacio vectorial V sobre K , ΓL ( V ) se descompone como el producto semidirecto
donde Aut ( K ) es los automorfismos de K . De manera similar, las transformaciones semilineales de otros grupos lineales se pueden definir como el producto semidirecto con el grupo de automorfismo, o más intrínsecamente como el grupo de mapas semilineales de un espacio vectorial que conserva algunas propiedades.
Identificamos Aut ( K ) con un subgrupo de ΓL ( V ) fijando una base B para V y definiendo los mapas semilineales:
para cualquier . Vamos a denotado este subgrupo de Aut ( K ) B . También vemos que estos complementos a GL ( V ) en ΓL ( V ) son tratados regularmente por GL ( V ) ya que corresponden a un cambio de base .
Prueba
Todo mapa lineal es semilineal, por lo tanto . Fijar una base B de V . Ahora, dado cualquier mapa semilineal f con respecto a un automorfismo de campo σ ∈ Aut ( K ) , defina g : V → V por
Como f ( B ) también es una base de V , se deduce que g es simplemente un intercambio de bases de V y, por lo tanto, es lineal e invertible: g ∈ GL ( V ) .
Colocar . Para cadaen V ,
por tanto, h está en el Aut ( K ) del subgrupo con respecto a la base fija B. Esta factorización es única para la base fija B . Además, GL ( V ) se normaliza mediante la acción de Aut ( K ) B , por lo que ΓL ( V ) = GL ( V ) ⋊ Aut ( K ) .
Aplicaciones
Geometría proyectiva
La los grupos amplían los grupos clásicos típicos en GL ( V ). La importancia de considerar tales mapas se deriva de la consideración de la geometría proyectiva . La acción inducida deen el espacio proyectivo asociado P ( V ) produce elgrupo semilineal proyectivo , denotado, ampliando el grupo lineal proyectivo , PGL ( V ).
La geometría proyectiva de un espacio vectorial V , denota PG ( V ), es la red de todos los subespacios de V . Aunque el mapa semilineal típico no es un mapa lineal, se sigue que cada mapa semilineal induce un mapa que preserva el orden . Es decir, todo mapa semilineal induce una proyectividad . El inverso de esta observación (excepto para la línea proyectiva) es el teorema fundamental de la geometría proyectiva . Por tanto, los mapas semilineales son útiles porque definen el grupo de automorfismos de la geometría proyectiva de un espacio vectorial.
Grupo de Mathieu
El grupo PΓL (3,4) se puede utilizar para construir el grupo Mathieu M 24 , que es uno de los grupos simples esporádicos ; PΓL (3,4) es un subgrupo máximo de M 24 , y hay muchas formas de extenderlo al grupo completo de Mathieu.
Ver también
Referencias
- ^ Ian R. Porteous (1995), Álgebras de Clifford y los grupos clásicos , Cambridge University Press
- ^ Bourbaki (1989), Álgebra I (2ª ed.), Springer-Verlag, pág. 223
- ^ Bourbaki (1989), Álgebra I (2ª ed.), Springer-Verlag, pág. 223
- ^ Bourbaki (1989), Álgebra I (2ª ed.), Springer-Verlag, pág. 236
- ^ Bourbaki (1989), Álgebra I (2ª ed.), Springer-Verlag, pág. 236
- ^ Bourbaki (1989), Álgebra I (2ª ed.), Springer-Verlag, pág. 223
- Assmus, EF; Key, JD (1994), Diseños y sus códigos , Cambridge University Press , p. 93, ISBN 0-521-45839-0
- Bourbaki, Nicolas (1989) [1970]. Álgebra I Capítulos 1-3 [ Algèbre: Capítulos 1 a 3 ] (PDF) . Éléments de mathématique . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64243-5. OCLC 18588156 .
- Bray, John N .; Holt, Derek F .; Roney-Dougal, Colva M. (2009), "Ciertos grupos clásicos no están bien definidos", Journal of Group Theory , 12 (2): 171–180, doi : 10.1515 / jgt.2008.069 , ISSN 1433-5883 , MR 2502211
- Faure, Claude-Alain; Frölicher, Alfred (2000), Geometría proyectiva moderna , Kluwer Academic Publishers , ISBN 0-7923-6525-9
- Gruenberg, KW; Weir, AJ (1977), Geometría lineal , Textos de posgrado en matemáticas, 49 (1a ed.), Springer-Verlag Nueva York
- Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
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