Mapa de herradura
En las matemáticas de la teoría del caos , un mapa de herradura es cualquier miembro de una clase de mapas caóticos del cuadrado en sí mismo. Es un ejemplo central en el estudio de sistemas dinámicos . El mapa fue introducido por Stephen Smale mientras estudiaba el comportamiento de las órbitas del oscilador de van der Pol . La acción del mapa se define geométricamente aplastando el cuadrado, luego estirando el resultado en una tira larga y finalmente doblando la tira en forma de herradura.
La mayoría de los puntos finalmente abandonan el cuadrado bajo la acción del mapa. Van a las tapas laterales donde, en iteración, convergerán a un punto fijo en una de las tapas. Los puntos que permanecen en el cuadrado bajo iteración repetida forman un conjunto fractal y son parte del conjunto invariante del mapa.
El aplastamiento, estiramiento y plegado del mapa en herradura son típicos de los sistemas caóticos, pero no son necesarios ni suficientes. [1]
En el mapa de herradura, el apretón y el estiramiento son uniformes. Se compensan entre sí para que el área del cuadrado no cambie. El plegado se realiza de forma ordenada, de modo que las órbitas que permanecen para siempre en el cuadrado se pueden describir de forma sencilla.
El mapa de herradura f es un difeomorfismo definido a partir de una región S del plano en sí mismo. La región S es un cuadrado coronado por dos semidiscos. La acción de f se define mediante la composición de tres transformaciones definidas geométricamente. Primero , el cuadrado se contrae a lo largo de la dirección vertical en un factor a < 1/2 . Las tapas se contraen para que permanezcan como semidiscos unidos al rectángulo resultante. La contratación por un factor menor a la mitad asegura que habrá un espacio entre las ramas de la herradura. A continuación, el rectángulo se estira horizontalmente en un factor de 1 / a . ; las tapas permanecen sin cambios. Finalmente, la tira resultante se dobla en forma de herradura y se vuelve a colocar en S.
La parte interesante de la dinámica es la imagen del cuadrado en sí mismo. Una vez definida esa parte, el mapa puede extenderse a un difeomorfismo definiendo su acción en las tapas. Los tapones están hechos para contraerse y eventualmente mapear dentro de uno de los tapones (el de la izquierda en la figura). La extensión de f a las mayúsculas agrega un punto fijo al conjunto no errante del mapa. Para que la clase de mapas de herradura sea simple, la región curva de la herradura no debe volver al cuadrado.
