En dinámica , el Van der Pol oscilador es un no conservadora oscilador con no lineal de amortiguación . Evoluciona en el tiempo según la ecuación diferencial de segundo orden :
donde x es la coordenada de posición, que es una función del tiempo t , y μ es un parámetro escalar que indica la no linealidad y la fuerza del amortiguamiento.
Historia
El oscilador Van der Pol fue propuesto originalmente por el ingeniero eléctrico y físico holandés Balthasar van der Pol mientras trabajaba en Philips . [1] Van der Pol encontró oscilaciones estables, [2] que posteriormente llamó oscilaciones de relajación [3] y ahora se conocen como un tipo de ciclo límite en circuitos eléctricos que emplean tubos de vacío . Cuando estos circuitos se impulsaron cerca del ciclo límite , se arrastran , es decir, la señal de activación arrastra la corriente con ella. Van der Pol y su colega, van der Mark, informaron en la edición de septiembre de 1927 de Nature [4] que en ciertas frecuencias de impulso se escuchó un ruido irregular , que luego se descubrió que era el resultado de un caos determinista . [5]
La ecuación de Van der Pol tiene una larga historia de uso tanto en las ciencias físicas como en las biológicas . Por ejemplo, en biología, Fitzhugh [6] y Nagumo [7] ampliaron la ecuación en un campo plano como modelo para los potenciales de acción de las neuronas . La ecuación también se ha utilizado en sismología para modelar las dos placas en una falla geológica , [8] y en estudios de fonación para modelar los osciladores de las cuerdas vocales derecha e izquierda . [9]
Forma bidimensional
El teorema de Liénard se puede utilizar para demostrar que el sistema tiene un ciclo límite. Aplicando la transformación de Liénard, donde el punto indica la derivada del tiempo, el oscilador de Van der Pol se puede escribir en su forma bidimensional: [10]
- .
Otra forma de uso común basada en la transformación lleva a:
- .
Resultados para el oscilador no forzado
Dos regímenes interesantes para las características del oscilador no forzado son: [11]
- Cuando μ = 0, es decir, no hay función de amortiguación, la ecuación se convierte en:
- Esta es una forma del oscilador armónico simple , y siempre hay conservación de energía .
- Cuando μ > 0, el sistema entrará en un ciclo límite. Cerca del origen x = dx / dt = 0, el sistema es inestable y lejos del origen, el sistema está amortiguado.
- El oscilador de Van der Pol no tiene una solución analítica exacta. [12] Sin embargo, tal solución existe para el ciclo límite si f (x) en la ecuación de Lienard es una función constante por partes.
Hamiltoniano para oscilador de Van der Pol
También se puede escribir un formalismo hamiltoniano independiente del tiempo para el oscilador de Van der Pol aumentándolo a un sistema dinámico autónomo de cuatro dimensiones utilizando una ecuación diferencial no lineal auxiliar de segundo orden de la siguiente manera:
Tenga en cuenta que la dinámica del oscilador de Van der Pol original no se ve afectada debido al acoplamiento unidireccional entre el tiempo-evoluciones de X y Y variables. Se puede demostrar que una H hamiltoniana para este sistema de ecuaciones es [13]
dónde y son los momentos conjugados correspondientes ax e y , respectivamente. En principio, esto puede conducir a la cuantificación del oscilador de Van der Pol. Tal hamiltoniano también conecta [14] la fase geométrica del sistema de ciclo límite que tiene parámetros dependientes del tiempo con el ángulo de Hannay del sistema hamiltoniano correspondiente.
Oscilador de Van der Pol forzado
El oscilador de Van der Pol forzado o accionado toma la función 'original' y agrega una función de accionamiento A sin ( ωt ) para dar una ecuación diferencial de la forma:
donde A es la amplitud , o desplazamiento , de la función de onda y ω es su velocidad angular .
Cultura popular
El autor James Gleick describió un oscilador Van der Pol de tubo de vacío en su libro de 1987 Chaos: Making a New Science . [16] Según un artículo del New York Times , [17] Gleick recibió un oscilador electrónico moderno de Van der Pol de un lector en 1988.
Ver también
- Mary Cartwright , matemática británica, una de las primeras en estudiar la teoría del caos determinista, particularmente en su aplicación a este oscilador. [18]
- El oscilador cuántico de van der Pol, que es la versión cuántica del oscilador clásico de van der Pol, se ha propuesto utilizando una ecuación de Lindblad para estudiar su dinámica cuántica y su sincronización cuántica . [19] Tenga en cuenta que el enfoque hamiltoniano anterior con una ecuación auxiliar de segundo orden produce trayectorias de espacio de fase ilimitadas y, por lo tanto, no se puede utilizar para cuantificar el oscilador de van der Pol. En el límite de la no linealidad débil (es decir, μ → 0), el oscilador de van der Pol se reduce a la ecuación de Stuart-Landau . De hecho, la ecuación de Stuart-Landau describe una clase completa de osciladores de ciclo límite en el límite débilmente no lineal. La forma de la ecuación clásica de Stuart-Landau es mucho más simple, y tal vez no sea sorprendente, puede cuantificarse mediante una ecuación de Lindblad que también es más simple que la ecuación de Lindblad para el oscilador de van der Pol. El modelo cuántico de Stuart-Landau ha jugado un papel importante en el estudio de la sincronización cuántica [20] [21] (donde a menudo se le ha llamado oscilador de van der Pol aunque no se puede asociar únicamente con el oscilador de van der Pol). La relación entre el modelo clásico de Stuart-Landau ( μ → 0) y osciladores de ciclo límite más generales ( μ arbitrario ) también se ha demostrado numéricamente en los modelos cuánticos correspondientes. [19]
Referencias
- ^ Cartwright, ML, "Balthazar van der Pol" , J. London Math. Soc. , 35 , 367-376, (1960).
- ^ B. van der Pol: "Una teoría de la amplitud de las vibraciones de triodo libres y forzadas", Radio Review (más tarde Wireless World) 1701–710 (1920)
- ^ Van der Pol, B., "Sobre oscilaciones de relajación", The London, Edinburgh y Dublin Phil. revista & J. de Sci. , 2 (7), 978–992 (1926).
- ^ Van der Pol, B. y Van der Mark, J., "Desmultiplicación de frecuencias", Nature , 120 , 363–364, (1927).
- ^ Kanamaru, T., "Oscilador de Van der Pol" , Scholarpedia , 2 (1), 2202, (2007).
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enlaces externos
- "Ecuación de Van der Pol" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Oscilador de Van der Pol en Scholarpedia
- Demostraciones interactivas del oscilador Van Der Pol