En el contexto de la teoría de grupos , el zócalo de un grupo G , denotado soc( G ), es el subgrupo generado por los subgrupos mínimos normales de G. Puede suceder que un grupo no tenga un subgrupo normal mínimo no trivial (es decir, todo subgrupo normal no trivial contiene propiamente otro subgrupo similar) y en ese caso el zócalo se define como el subgrupo generado por la identidad. El zócalo es un producto directo de subgrupos mínimos normales. [1]
Como ejemplo, considere el grupo cíclico Z 12 con generador u , que tiene dos subgrupos normales mínimos, uno generado por u 4 (que da un subgrupo normal con 3 elementos) y el otro por u 6 (que da un subgrupo normal con 2 elementos). Así el zócalo de Z 12 es el grupo generado por u 4 y u 6 , que es precisamente el grupo generado por u 2 .
El zócalo es un subgrupo característico y, por lo tanto, un subgrupo normal. Sin embargo, no es necesariamente transitivamente normal .
Si un grupo G es un grupo soluble finito , entonces el zócalo se puede expresar como un producto de p -grupos abelianos elementales . Por lo tanto, en este caso, es solo un producto de copias de Z / p Z para varias p , donde la misma p puede aparecer varias veces en el producto.
En el contexto de la teoría de módulos y la teoría de anillos, el zócalo de un módulo M sobre un anillo R se define como la suma de los submódulos mínimos distintos de cero de M. Puede considerarse como una noción dual a la de radical de un módulo . En notación de conjuntos,
El zócalo de un anillo R puede referirse a uno de los dos conjuntos del anillo. Considerando R como un módulo R derecho , se define soc( R R ), y considerando R como un módulo R izquierdo , se define soc( R R ). Ambos zócalos son anillos ideales y se sabe que no son necesariamente iguales.