En topología , el plano de Sorgenfrey es un contraejemplo frecuentemente citado de muchas conjeturas que por lo demás parecen plausibles. Consiste en el producto de dos copias de la línea Sorgenfrey , que es la línea real bajo la topología de intervalo semiabierto . La línea y el plano de Sorgenfrey llevan el nombre del matemático estadounidense Robert Sorgenfrey .
Una base para el plano de Sorgenfrey, denotadode ahora en adelante, es por lo tanto el conjunto de rectángulos que incluyen el borde oeste, la esquina suroeste y el borde sur, y omiten la esquina sureste, el borde este, la esquina noreste, el borde norte y la esquina noroeste. Conjuntos abiertos en son uniones de tales rectángulos.
es un ejemplo de un espacio que es producto de los espacios Lindelöf que no es en sí mismo un espacio Lindelöf. El llamado anti-diagonal es un subconjunto discreto incontable de este espacio, y este es un subconjunto no separable del espacio separable . Muestra que la separabilidad no se hereda de los subespacios cerrados . Tenga en cuenta que y son conjuntos cerrados; se puede probar que no pueden ser separados por conjuntos abiertos, mostrando queno es normal . Por tanto, sirve de contraejemplo a la noción de que el producto de los espacios normales es normal; de hecho, muestra que incluso el producto finito de espacios perfectamente normales no tiene por qué serlo.
Ver también
Referencias
- Kelley, John L. (1955). Topología general . van Nostrand . Reimpreso como Kelley, John L. (1975). Topología general . Springer-Verlag . ISBN 0-387-90125-6.
- Robert Sorgenfrey, "Sobre el producto topológico de los espacios paracompactos", Bull. Amer. Matemáticas. Soc. 53 (1947) 631–632.
- Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3. Señor 0507446 .