En matemáticas , la topología de límite inferior o topología de intervalo semiabierto derecho es una topología definida en el conjuntode números reales ; es diferente de la topología estándar en(generado por los intervalos abiertos ) y tiene una serie de propiedades interesantes. Es la topología generada por la base de todos los intervalos semiabiertos [ a , b ), donde a y b son números reales.
El espacio topológico resultante se llama línea de Sorgenfrey en honor a Robert Sorgenfrey o la flecha y a veces se escribe. Al igual que el conjunto de Cantor y la línea larga , la línea de Sorgenfrey a menudo sirve como un contraejemplo útil para muchas conjeturas de topología general que por lo demás suenan plausibles . El producto deconsigo mismo es también un contraejemplo útil, conocido como el plano de Sorgenfrey .
En completa analogía, también se puede definir la topología de límite superior o la topología de intervalo semiabierto a la izquierda .
Propiedades
- La topología del límite inferior es más fina (tiene más conjuntos abiertos) que la topología estándar en los números reales (que se genera mediante los intervalos abiertos). La razón es que cada intervalo abierto se puede escribir como una unión (numerablemente infinita) de intervalos semiabiertos.
- Por cualquier real y , el intervalo está cerrado en(es decir, tanto abiertos como cerrados ). Además, para todos los, los conjuntos y también están abiertos. Esto muestra que la línea Sorgenfrey está totalmente desconectada .
- Cualquier subconjunto compacto dedebe ser un conjunto contable como máximo . Para ver esto, considere un subconjunto compacto no vacío. Arreglar un, considere la siguiente tapa abierta de :
- Desde es compacta, esta cubierta tiene una subcubierta finita y, por lo tanto, existe un número real tal que el intervalo no contiene ningún punto de aparte de . Esto es cierto para todos . Ahora elige un número racional . Dado que los intervalos , parametrizado por , son disjuntos por pares, la función es inyectivo, por lo que es como mucho contable.
- El nombre "topología de límite inferior" proviene del siguiente hecho: una secuencia (o red ) en converge al límite si y solo si "se acerca desde la derecha ", es decir, para cada existe un índice tal que . Por tanto, la línea de Sorgenfrey se puede utilizar para estudiar los límites del lado derecho : sies una función , entonces el límite ordinario del lado derecho de a (cuando el codominio lleva la topología estándar) es el mismo que el límite habitual de a cuando el dominio está equipado con la topología de límite inferior y el codominio lleva la topología estándar.
- En términos de axiomas de separación ,es un espacio de Hausdorff perfectamente normal .
- En términos de axiomas de contabilidad ,es el primer contable y separable , pero no el segundo contable .
- En términos de propiedades de compacidad, es Lindelöf y paracompacto , pero no σ-compacto ni localmente compacto .
- no es metrizable , ya que los espacios métricos separables son contables en segundo lugar. Sin embargo, la topología de una línea de Sorgenfrey se genera mediante un cuasimétrico .
- es un espacio de Baire .
Ver también
Referencias
- Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446