En matemáticas , el plano de Moore , también llamado a veces plano de Niemytzki (o plano de Nemytskii , topología del disco tangente de Nemytskii ), es un espacio topológico . Es un espacio de Hausdorff completamente regular (también llamado espacio de Tychonoff ) que no es normal . Lleva el nombre de Robert Lee Moore y Viktor Vladimirovich Nemytskii .
Definición
Si es el semiplano superior (cerrado) , entonces se puede definir una topología entomando una base local como sigue:
- Elementos de la base local en puntos con son los discos abiertos en el plano que son lo suficientemente pequeños como para estar dentro .
- Elementos de la base local en puntos son conjuntos donde A es un disco abierto en el semiplano superior que es tangente al eje x en p .
Es decir, la base local viene dada por
Así, la topología subespacial heredada por es la misma que la topología subespacial heredada de la topología estándar del plano euclidiano.
Propiedades
- El avión de Moore es separable , es decir, tiene un subconjunto denso contable.
- El plano de Moore es un espacio de Hausdorff completamente regular (es decir, el espacio de Tychonoff ), que no es normal .
- El subespacio de tiene, como topología subespacial , la topología discreta . Por tanto, el plano de Moore muestra que un subespacio de un espacio separable no necesita ser separable.
- El plano de Moore es el primer contable , pero no el segundo contable o Lindelöf .
- El avión de Moore no es localmente compacto .
- El plano de Moore es contablemente metacompacto pero no metacompacto .
Prueba de que el avión de Moore no es normal.
El hecho de que este espacio M no es normal puede establecerse mediante el siguiente argumento de recuento (que es muy similar al argumento de que el plano de Sorgenfrey no es normal):
- Por un lado, el conjunto contable de puntos con coordenadas racionales es denso en M ; de ahí cada función continua está determinada por su restricción a , por lo que puede haber como máximo muchas funciones con valores reales continuos en M .
- Por otro lado, la línea real es un subespacio discreto cerrado de M conmuchos puntos. Entonces haymuchas funciones continuas de L a. No todas estas funciones se pueden extender a funciones continuas en M .
- Por tanto, M no es normal, porque según el teorema de extensión de Tietze todas las funciones continuas definidas en un subespacio cerrado de un espacio normal pueden extenderse a una función continua en todo el espacio.
De hecho, si X es un espacio topológico separable que tiene un subespacio discreto cerrado incontable, X no puede ser normal.
Ver también
Referencias
- Stephen Willard. Topología general , (1970) Addison-Wesley ISBN 0-201-08707-3 .
- Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446 (Ejemplo 82)
- "Avión de Niemytzki" . PlanetMath .