En probabilidad , estadística y campos relacionados, un proceso de puntos de Poisson es un tipo de objeto matemático aleatorio que consta de puntos ubicados aleatoriamente en un espacio matemático . [1] El proceso de puntos de Poisson a menudo se denomina simplemente proceso de Poisson , pero también se denomina medida aleatoria de Poisson , campo de puntos aleatorios de Poisson o campo de puntos de Poisson . Este proceso puntual tiene propiedades matemáticas convenientes, [2] lo que lo ha llevado a ser definido con frecuencia en el espacio euclidiano.y se utiliza como modelo matemático para procesos aparentemente aleatorios en numerosas disciplinas como astronomía , [3] biología , [4] ecología , [5] geología , [6] sismología , [7] física , [8] economía , [9] procesamiento de imágenes , [10] y telecomunicaciones . [11] [12]
El proceso lleva el nombre del matemático francés Siméon Denis Poisson a pesar de que Poisson nunca estudió el proceso. Su nombre deriva del hecho de que si una colección de puntos aleatorios en algún espacio forma un proceso de Poisson, entonces el número de puntos en una región de tamaño finito es una variable aleatoria con una distribución de Poisson . El proceso se descubrió de forma independiente y repetida en varios entornos, incluidos experimentos sobre desintegración radiactiva, llegadas de llamadas telefónicas y matemáticas de seguros. [13] [14]
El proceso del punto de Poisson a menudo se define en la línea real , donde se puede considerar como un proceso estocástico . En este escenario, se utiliza, por ejemplo, en la teoría de las colas [15] para modelar eventos aleatorios, como la llegada de clientes a una tienda, llamadas telefónicas en un intercambio o ocurrencia de terremotos , distribuidos en el tiempo . En el plano , el proceso puntual, también conocido como proceso espacial de Poisson , [16] puede representar las ubicaciones de objetos dispersos como transmisores en una red inalámbrica , [11] [17] [18] [19] partículas que chocan en una detector, o árboles en un bosque. [20] En este contexto, el proceso se utiliza a menudo en modelos matemáticos y en los campos relacionados de procesos puntuales espaciales, [21] geometría estocástica , [1] estadística espacial [21] [22] y teoría de la percolación continua . [23] El proceso de puntos de Poisson se puede definir en espacios más abstractos . Más allá de las aplicaciones, el proceso de puntos de Poisson es un objeto de estudio matemático por derecho propio. [2] En todos los entornos, el proceso de puntos de Poisson tiene la propiedad de que cada punto es estocásticamente independiente de todos los demás puntos del proceso, por lo que a veces se lo denomina proceso pura o completamente aleatorio. [24] A pesar de su amplio uso como modelo estocástico de fenómenos representables como puntos, la naturaleza inherente del proceso implica que no describe adecuadamente los fenómenos en los que existe una interacción suficientemente fuerte entre los puntos. Esto ha inspirado la propuesta de otros procesos puntuales, algunos de los cuales se construyen con el proceso puntual de Poisson, que buscan captar dicha interacción. [25]
El proceso puntual depende de un único objeto matemático, que, según el contexto, puede ser una constante , una función integrable localmente o, en entornos más generales, una medida de radón . [26] En el primer caso, la constante, conocida como tasa o intensidad , es la densidad promedio de los puntos en el proceso de Poisson ubicados en alguna región del espacio. El proceso puntual resultante se denomina proceso puntual de Poisson homogéneo o estacionario . [27] En el segundo caso, el proceso de puntos se denomina proceso de puntos de Poisson no homogéneo o no homogéneo , y la densidad media de puntos depende de la ubicación del espacio subyacente del proceso de puntos de Poisson. [28] La palabra punto a menudo se omite, [2] pero hay otros procesos de objetos de Poisson que, en lugar de puntos, consisten en objetos matemáticos más complicados, como líneas y polígonos , y tales procesos pueden basarse en el punto de Poisson. proceso. [29] Tanto el proceso homogéneo de puntos de Poisson como el proceso de puntos de Poisson no homogéneos son casos particulares del proceso de renovación generalizado .
Resumen de definiciones
Dependiendo del entorno, el proceso tiene varias definiciones equivalentes [30] , así como definiciones de diversa generalidad debido a sus múltiples aplicaciones y caracterizaciones. [31] El proceso de puntos de Poisson se puede definir, estudiar y utilizar en una dimensión, por ejemplo, en la línea real, donde se puede interpretar como un proceso de recuento o parte de un modelo de cola; [32] [33] en dimensiones superiores como el plano donde juega un papel en la geometría estocástica [1] y la estadística espacial ; [34] o en espacios matemáticos más generales. [35] En consecuencia, la notación, la terminología y el nivel de rigor matemático utilizados para definir y estudiar el proceso de puntos de Poisson y los procesos de puntos en general varían según el contexto. [36]
A pesar de todo esto, el proceso de puntos de Poisson tiene dos propiedades clave, la propiedad de Poisson y la propiedad de independencia, que juegan un papel esencial en todos los entornos donde se utiliza el proceso de puntos de Poisson. [26] [37] Las dos propiedades no son lógicamente independientes; de hecho, la independencia implica la distribución de Poisson de recuentos de puntos, pero no a la inversa. [a]
Distribución de Poisson de recuentos de puntos
Un proceso de puntos de Poisson se caracteriza mediante la distribución de Poisson . La distribución de Poisson es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria (llamada variable aleatoria de Poisson ) tal que la probabilidad de que es igual a es dado por:
dónde denota factorial y el parámetrodetermina la forma de la distribución. (De echo, es igual al valor esperado de .)
Por definición, un proceso de puntos de Poisson tiene la propiedad de que el número de puntos en una región acotada del espacio subyacente del proceso es una variable aleatoria distribuida por Poisson. [37]
Independencia completa
Considere una colección de subregiones separadas y delimitadas del espacio subyacente. Por definición, el número de puntos de un proceso de puntos de Poisson en cada subregión limitada será completamente independiente de todas las demás.
Esta propiedad se conoce con varios nombres tales como aleatoriedad completa , la independencia completa , [38] o de dispersión independiente [39] [40] y es común a todos los procesos de punto de Poisson. En otras palabras, existe una falta de interacción entre las diferentes regiones y los puntos en general, [41] lo que motiva que el proceso de Poisson a veces se denomine proceso pura o completamente aleatorio. [38]
Proceso homogéneo de puntos de Poisson
Si un proceso de punto de Poisson tiene un parámetro de la forma , dónde es la medida de Lebesgue (es decir, asigna longitud, área o volumen a los conjuntos) y es una constante, entonces el proceso puntual se denomina proceso puntual de Poisson homogéneo o estacionario. El parámetro, llamado tasa o intensidad , está relacionado con el número esperado (o promedio) de puntos de Poisson existentes en alguna región delimitada, [42] [43] donde la tasa se usa generalmente cuando el espacio subyacente tiene una dimensión. [42] El parámetrose puede interpretar como el número promedio de puntos por alguna unidad de extensión, como longitud , área , volumen o tiempo , dependiendo del espacio matemático subyacente, y también se denomina densidad media o tasa media ; [44] ver Terminología .
Interpretado como un proceso de conteo
El proceso homogéneo de puntos de Poisson, cuando se considera en la semilínea positiva, se puede definir como un proceso de conteo , un tipo de proceso estocástico, que se puede denotar como. [30] [33] Un proceso de conteo representa el número total de ocurrencias o eventos que han sucedido hasta el momento inclusive. Un proceso de recuento es un proceso de recuento de Poisson homogéneo con tasasi tiene las siguientes tres propiedades: [30] [33]
- tiene incrementos independientes ; y
- el número de eventos (o puntos) en cualquier intervalo de duración es una variable aleatoria de Poisson con parámetro (o media) .
La última propiedad implica:
En otras palabras, la probabilidad de la variable aleatoria siendo igual a es dado por:
El proceso de conteo de Poisson también se puede definir indicando que las diferencias de tiempo entre los eventos del proceso de conteo son variables exponenciales con media . [45] Las diferencias de tiempo entre los eventos o llegadas se conocen como entre llegadas [46] o interoccurence veces. [45]
Interpretado como un proceso puntual en la línea real
Interpretado como un proceso puntual , un proceso puntual de Poisson se puede definir en la línea real considerando el número de puntos del proceso en el intervalo. Para el proceso homogéneo de puntos de Poisson en la línea real con parámetro, la probabilidad de este número aleatorio de puntos, escrito aquí como , siendo igual a algún número de conteo viene dado por: [47]
Para algún entero positivo , el proceso homogéneo de puntos de Poisson tiene la distribución de dimensión finita dada por: [47]
donde los números reales .
En otras palabras, es una variable aleatoria de Poisson con media , dónde . Además, el número de puntos en dos intervalos disjuntos cualesquiera, digamos, y son independientes entre sí, y esto se extiende a cualquier número finito de intervalos disjuntos. [47] En el contexto de la teoría de las colas, uno puede considerar un punto existente (en un intervalo) como un evento , pero esto es diferente a la palabra evento en el sentido de la teoría de la probabilidad. [b] De ello se deduce quees el número esperado de llegadas que se producen por unidad de tiempo. [33]
Propiedades clave
La definición anterior tiene dos características importantes que comparten los procesos de puntos de Poisson en general: [47] [26]
- el número de llegadas en cada intervalo finito tiene una distribución de Poisson;
- el número de llegadas en intervalos disjuntos son variables aleatorias independientes.
Además, tiene una tercera característica relacionada solo con el proceso homogéneo de puntos de Poisson: [48]
- la distribución de Poisson del número de llegadas en cada intervalo solo depende de la duración del intervalo .
En otras palabras, para cualquier finito , la variable aleatoria es independiente de , por lo que también se denomina proceso de Poisson estacionario. [47]
Ley de los grandes números
La cantidad se puede interpretar como el número esperado o promedio de puntos que ocurren en el intervalo, a saber:
dónde denota el operador de expectativa . En otras palabras, el parámetrodel proceso de Poisson coincide con la densidad de puntos. Además, el proceso homogéneo de puntos de Poisson se adhiere a su propia forma de la ley (fuerte) de los grandes números. [49] Más específicamente, con probabilidad uno:
dónde denota el límite de una función, y Es el número esperado de llegadas ocurridas por unidad de tiempo.
Propiedad sin memoria
La distancia entre dos puntos consecutivos de un proceso puntual en la línea real será una variable aleatoria exponencial con parámetro (o equivalentemente, significa ). Esto implica que los puntos tienen la propiedad sin memoria : la existencia de un punto existente en un intervalo finito no afecta la probabilidad (distribución) de otros puntos existentes, [50] [51] pero esta propiedad no tiene equivalencia natural cuando el proceso de Poisson se define en un espacio de mayores dimensiones. [52]
Orden y sencillez
A veces se dice que un proceso puntual con incrementos estacionarios es ordenado [53] o regular si: [54]
donde se utiliza la notación pequeña-o . Un proceso puntual se denomina proceso puntual simple cuando la probabilidad de que cualquiera de sus dos puntos coincida en la misma posición, en el espacio subyacente, es cero. Para los procesos puntuales en general en la línea real, la propiedad del orden implica que el proceso es simple, [55] que es el caso del proceso puntual de Poisson homogéneo. [56]
Caracterización martingala
En la línea real, el proceso homogéneo de puntos de Poisson tiene una conexión con la teoría de las martingalas mediante la siguiente caracterización: un proceso de puntos es el proceso homogéneo de puntos de Poisson si y solo si
es una martingala. [57]
Relación con otros procesos
En la línea real, el proceso de Poisson es un tipo de proceso de Markov de tiempo continuo conocido como proceso de nacimiento , un caso especial del proceso de nacimiento-muerte (con solo nacimientos y cero muertes). [58] [59] Se han definido procesos más complicados con la propiedad de Markov , como los procesos de llegada de Markov , donde el proceso de Poisson es un caso especial. [45]
Restringido a la media línea
Si el proceso de Poisson homogéneo se considera solo en la mitad de la línea , que puede ser el caso cuando representa el tiempo [30], entonces el proceso resultante no es verdaderamente invariante bajo traducción. [52] En ese caso, el proceso de Poisson ya no es estacionario, según algunas definiciones de estacionariedad. [27]
Aplicaciones
Ha habido muchas aplicaciones del proceso homogéneo de Poisson en la línea real en un intento de modelar eventos aparentemente aleatorios e independientes que ocurren. Tiene un papel fundamental en la teoría de las colas , que es el campo de probabilidad de desarrollar modelos estocásticos adecuados para representar la llegada y salida aleatoria de ciertos fenómenos. [15] [45] Por ejemplo, los clientes que llegan y son atendidos o las llamadas telefónicas que llegan a una central telefónica pueden estudiarse con técnicas de la teoría de las colas.
Generalizaciones
El proceso de Poisson homogéneo en la línea real se considera uno de los procesos estocásticos más simples para contar números aleatorios de puntos. [60] [61] Este proceso se puede generalizar de varias formas. Una posible generalización es extender la distribución de los tiempos entre llegadas desde la distribución exponencial a otras distribuciones, lo que introduce el proceso estocástico conocido como proceso de renovación . Otra generalización es definir el proceso de puntos de Poisson en espacios de dimensiones superiores como el plano. [62]
Proceso espacial de puntos de Poisson
Un proceso de Poisson espacial es un proceso de puntos de Poisson definido en el plano. [57] [63] Para su definición matemática, primero se considera una región acotada, abierta o cerrada (o más precisamente, Borel medible )del avión. El número de puntos de un proceso puntual. existente en esta región es una variable aleatoria, denotada por . Si los puntos pertenecen a un proceso de Poisson homogéneo con parámetro, entonces la probabilidad de puntos existentes en es dado por:
dónde denota el área de .
Para algún entero finito , podemos dar la distribución de dimensión finita del proceso homogéneo de puntos de Poisson considerando primero una colección de conjuntos de Borel (medibles) acotados y disjuntos . El número de puntos del proceso de puntos. existente en Se puede escribir como . Luego, el proceso homogéneo de puntos de Poisson con parámetrotiene la distribución de dimensión finita: [64]
Aplicaciones
El proceso espacial de puntos de Poisson ocupa un lugar destacado en la estadística espacial , [21] [22] geometría estocástica y teoría de la percolación continua . [23] Este proceso puntual se aplica en varias ciencias físicas, como un modelo desarrollado para la detección de partículas alfa. En los últimos años, se ha utilizado con frecuencia para modelar configuraciones espaciales aparentemente desordenadas de ciertas redes de comunicación inalámbrica. [17] [18] [19] Por ejemplo, se han desarrollado modelos para redes de telefonía celular o móvil donde se asume que los transmisores de la red telefónica, conocidos como estaciones base, están posicionados de acuerdo con un proceso homogéneo de puntos de Poisson.
Definido en dimensiones superiores
El anterior proceso homogéneo de puntos de Poisson se extiende inmediatamente a dimensiones más altas reemplazando la noción de área con volumen (de alta dimensión). Para alguna región delimitada del espacio euclidiano , si los puntos forman un proceso de Poisson homogéneo con parámetro , entonces la probabilidad de puntos existentes en es dado por:
dónde ahora denota el -volumen dimensional de . Además, para una colección de conjuntos Borel delimitados e inconexos, dejar denotar el número de puntos de existente en . Luego, el correspondiente proceso homogéneo de puntos de Poisson con parámetrotiene la distribución de dimensión finita: [66]
Los procesos homogéneos de puntos de Poisson no dependen de la posición del espacio subyacente a través de su parámetro , lo que implica que es tanto un proceso estacionario (invariante a la traslación) como un proceso estocástico isotrópico (invariante a la rotación). [27] De manera similar al caso unidimensional, el proceso de puntos homogéneos está restringido a algún subconjunto acotado de, luego, dependiendo de algunas definiciones de estacionariedad, el proceso ya no es estacionario. [27] [52]
Los puntos se distribuyen uniformemente
Si el proceso puntual homogéneo se define en la línea real como un modelo matemático para las ocurrencias de algún fenómeno, entonces tiene la característica de que las posiciones de estas ocurrencias o eventos en la línea real (a menudo interpretadas como tiempo) estarán uniformemente distribuidas. Más específicamente, si ocurre un evento (según este proceso) en un intervalo dónde , entonces su ubicación será una variable aleatoria uniforme definida en ese intervalo. [64] Además, el proceso de punto homogéneo a veces se denomina proceso de punto de Poisson uniforme (ver Terminología ). Esta propiedad de uniformidad se extiende a dimensiones más altas en la coordenada cartesiana, pero no en, por ejemplo, coordenadas polares. [67] [68]
Proceso de punto de Poisson no homogéneo
El proceso de punto de Poisson no homogéneo o no homogéneo (ver Terminología ) es un proceso de punto de Poisson con un parámetro de Poisson establecido como alguna función dependiente de la ubicación en el espacio subyacente en el que se define el proceso de Poisson. Para el espacio euclidiano, esto se logra mediante la introducción de una función positiva integrable localmente , tal que para cualquier región delimitada la (-dimensional) integral de volumen de sobre la región es finito. En otras palabras, si esta integral, denotada por, es: [43]
dónde es un (-dimensional) elemento de volumen, [c] entonces para cualquier colección de disjuntos delimitada medibles Borel conjuntos, un proceso de Poisson no homogéneo con función (intensidad) tiene la distribución de dimensión finita: [66]
Además, tiene la interpretación de ser el número esperado de puntos del proceso de Poisson ubicados en la región acotada , a saber
Definido en la línea real
En la línea real, el proceso de puntos de Poisson no homogéneo o no homogéneo tiene una medida media dada por una integral unidimensional. Por dos números reales y , dónde , denotamos por el número de puntos de un proceso de Poisson no homogéneo con función de intensidad ocurriendo en el intervalo . La probabilidad de puntos existentes en el intervalo anterior es dado por:
donde la media o medida de intensidad es:
lo que significa que la variable aleatoria es una variable aleatoria de Poisson con media .
Una característica de la configuración unidimensional es que un proceso de Poisson no homogéneo se puede transformar en homogéneo mediante una transformación o mapeo monótono , que se logra con la inversa de. [69] [70]
Interpretación del proceso de conteo
El proceso de punto de Poisson no homogéneo, cuando se considera en la línea media positiva, también se define a veces como un proceso de conteo. Con esta interpretación, el proceso, que a veces se escribe como, representa el número total de ocurrencias o eventos que han sucedido hasta el momento inclusive . Se dice que un proceso de recuento es un proceso de recuento de Poisson no homogéneo si tiene las cuatro propiedades: [33] [71]
- tiene incrementos independientes ;
- y
dónde es una notación asintótica o pequeña para como . En el caso de procesos puntuales con refractariedad (p. Ej., Trenes de picos neurales) se aplica una versión más fuerte de la propiedad 4: [72] .
Las propiedades anteriores implican que es una variable aleatoria de Poisson con el parámetro (o media)
lo que implica
Proceso espacial de Poisson
Un proceso de Poisson no homogéneo definido en el plano se denomina proceso espacial de Poisson [16] Se define con función de intensidad y su medida de intensidad se obtiene realizando una integral de superficie de su función de intensidad sobre alguna región. [20] [73] Por ejemplo, su función de intensidad (en función de las coordenadas cartesianas y ) puede ser
por lo que la medida de intensidad correspondiente viene dada por la integral de superficie
dónde es una región acotada en el plano .
En dimensiones superiores
En el avión, corresponde a una integral de superficie mientras la integral se convierte en un (-dimensional) integral de volumen.
Aplicaciones
Cuando la línea real se interpreta como tiempo, el proceso no homogéneo se utiliza en los campos de los procesos de conteo y en la teoría de las colas. [71] [74] Ejemplos de fenómenos que han sido representados o aparecen como un proceso de punto de Poisson no homogéneo incluyen:
- Goles que se marcan en un partido de fútbol. [75]
- Defectos en una placa de circuito [76]
En el plano, el proceso de puntos de Poisson es importante en las disciplinas relacionadas de la geometría estocástica [1] [34] y la estadística espacial. [21] [22] La medida de intensidad de este proceso puntual depende de la ubicación del espacio subyacente, lo que significa que puede usarse para modelar fenómenos con una densidad que varía en alguna región. En otras palabras, los fenómenos se pueden representar como puntos que tienen una densidad dependiente de la ubicación. [20] Este proceso se ha utilizado en diversas disciplinas y los usos incluyen el estudio del salmón y los piojos de mar en los océanos, [77] silvicultura, [5] y problemas de búsqueda. [78]
Interpretación de la función de intensidad
La función de intensidad de Poisson tiene una interpretación, considerada intuitiva, [20] con el elemento volumen en el sentido infinitesimal: es la probabilidad infinitesimal de que un punto de un proceso de puntos de Poisson exista en una región del espacio con volumen situado en . [20]
Por ejemplo, dado un proceso homogéneo de puntos de Poisson en la línea real, la probabilidad de encontrar un solo punto del proceso en un pequeño intervalo de ancho es aproximadamente . De hecho, tal intuición es la forma en que a veces se introduce el proceso de puntos de Poisson y se deriva su distribución. [79] [41] [80]
Proceso de punto simple
Si un proceso de puntos de Poisson tiene una medida de intensidad que es localmente finita y difusa (o no atómica), entonces es un proceso de puntos simple . Para un proceso de punto simple, la probabilidad de que un punto exista en un solo punto o ubicación en el espacio subyacente (estado) es cero o uno. Esto implica que, con probabilidad uno, no hay dos (o más) puntos de un proceso de puntos de Poisson que coincidan en su ubicación en el espacio subyacente. [81] [18] [82]
Simulación
La simulación de un proceso de puntos de Poisson en una computadora generalmente se realiza en una región limitada del espacio, conocida como ventana de simulación , y requiere dos pasos: crear adecuadamente un número aleatorio de puntos y luego colocarlos de manera adecuada de manera aleatoria. Ambos pasos dependen del proceso de punto de Poisson específico que se está simulando. [83] [84]
Paso 1: número de puntos
La cantidad de puntos en la ventana, denotado aquí por , necesita ser simulado, lo cual se hace usando una función de generación de números (pseudo) aleatorios capaz de simular variables aleatorias de Poisson.
Caso homogéneo
Para el caso homogéneo con la constante , la media de la variable aleatoria de Poisson se establece en dónde es la longitud, el área o (-dimensional) volumen de .
Caso no homogéneo
Para el caso no homogéneo, se reemplaza con el (-dimensional) integral de volumen
Paso 2: Posicionamiento de puntos
La segunda etapa requiere colocar al azar el puntos en la ventana .
Caso homogéneo
Para el caso homogéneo en una dimensión, todos los puntos se colocan de manera uniforme e independiente en la ventana o intervalo. . Para dimensiones más altas en un sistema de coordenadas cartesianas, cada coordenada se coloca de manera uniforme e independiente en la ventana. Si la ventana no es un subespacio del espacio cartesiano (por ejemplo, dentro de una esfera unitaria o en la superficie de una esfera unitaria), los puntos no se colocarán uniformemente en, y se necesita un cambio adecuado de coordenadas (de cartesiano). [83]
Caso no homogéneo
Para el caso no homogéneo, se pueden utilizar un par de métodos diferentes dependiendo de la naturaleza de la función de intensidad. . [83] Si la función de intensidad es suficientemente simple, entonces se pueden generar coordenadas independientes y aleatorias no uniformes (cartesianas u otras) de los puntos. Por ejemplo, se puede simular un proceso de punto de Poisson en una ventana circular para una función de intensidad isotrópica (en coordenadas polares y ), lo que implica que es una variante rotacional o independiente de pero dependiente de , por un cambio de variable en si la función de intensidad es suficientemente simple. [83]
Para funciones de intensidad más complicadas, se puede usar un método de aceptación-rechazo , que consiste en usar (o 'aceptar') solo ciertos puntos aleatorios y no usar (o 'rechazar') los otros puntos, según la relación: [85]
dónde es el punto bajo consideración para aceptación o rechazo.
Proceso general de puntos de Poisson
El proceso de punto de Poisson se puede generalizar aún más a lo que a veces se conoce como el proceso de punto de Poisson general [20] [86] o el proceso de Poisson general [73] mediante el uso de una medida de Radon, que es una medida localmente finita. En general, esta medida de radónpuede ser atómico, lo que significa que pueden existir múltiples puntos del proceso de puntos de Poisson en la misma ubicación del espacio subyacente. En esta situación, el número de puntos en es una variable aleatoria de Poisson con media . [86] Pero a veces se asume lo contrario, por lo que la medida del radónes difuso o no atómico. [20]
Un proceso puntual es un proceso general de puntos de Poisson con intensidad si tiene las dos propiedades siguientes: [20]
- el número de puntos en un conjunto Borel acotado es una variable aleatoria de Poisson con media . En otras palabras, denote el número total de puntos ubicados en por , entonces la probabilidad de la variable aleatoria siendo igual a es dado por:
- el número de puntos en Borel disjunto establece formas variables aleatorias independientes.
La medida del radón mantiene su interpretación anterior de ser el número esperado de puntos de ubicado en la región delimitada , a saber
Además, si es absolutamente continuo de tal manera que tiene una densidad (que es la densidad o derivada Radon-Nikodym ) con respecto a la medida de Lebesgue, entonces para todos los conjuntos de Borel se puede escribir como:
donde la densidad se conoce, entre otros términos, como función de intensidad.
Historia
distribución de veneno
A pesar de su nombre, el proceso de puntos de Poisson no fue descubierto ni estudiado por el matemático francés Siméon Denis Poisson ; el nombre se cita como ejemplo de la ley de Stigler . [13] [14] El nombre proviene de su relación inherente con la distribución de Poisson , derivada por Poisson como un caso límite de la distribución binomial . [87] Esto describe la probabilidad de la suma de Ensayos de Bernoulli con probabilidad, a menudo comparado con el número de caras (o colas) después de sesgada voltea de una moneda con la probabilidad de una cabeza (o cola) ser que ocurre. Por alguna constante positiva, como aumenta hacia el infinito y disminuye hacia cero de modo que el producto es fija, la distribución de Poisson se aproxima más a la del binomio. [88]
Poisson derivó la distribución de Poisson, publicada en 1841, examinando la distribución binomial en el límite de (a cero) y (hasta el infinito). Solo aparece una vez en toda la obra de Poisson, [89] y el resultado no fue muy conocido durante su época. Durante los años siguientes, varias personas utilizaron la distribución sin citar a Poisson, incluidos Philipp Ludwig von Seidel y Ernst Abbe . [90] [13] A finales del siglo XIX , Ladislaus Bortkiewicz volvería a estudiar la distribución en un escenario diferente (citando a Poisson), utilizando la distribución con datos reales para estudiar el número de muertes por patadas de caballo en el ejército prusiano . [87] [91]
Descubrimiento
Hay una serie de afirmaciones sobre usos o descubrimientos tempranos del proceso de puntos de Poisson. [13] [14] Por ejemplo, John Michell en 1767, una década antes del nacimiento de Poisson, estaba interesado en la probabilidad de que una estrella estuviera dentro de una determinada región de otra estrella bajo el supuesto de que las estrellas estaban "dispersas por mera casualidad". y estudió un ejemplo que consta de las seis estrellas más brillantes de las Pléyades , sin derivar la distribución de Poisson. Este trabajo inspiró a Simon Newcomb a estudiar el problema y calcular la distribución de Poisson como una aproximación de la distribución binomial en 1860. [14]
A principios del siglo XX, el proceso de Poisson (en una dimensión) surgiría de forma independiente en diferentes situaciones. [13] [14] En Suecia 1903, Filip Lundberg publicó una tesis que contenía un trabajo, ahora considerado fundamental y pionero, donde propuso modelar las reclamaciones de seguros con un proceso de Poisson homogéneo. [92] [93]
En Dinamarca, en 1909, se produjo otro descubrimiento cuando AK Erlang derivó la distribución de Poisson al desarrollar un modelo matemático para el número de llamadas telefónicas entrantes en un intervalo de tiempo finito. Erlang no estaba al tanto en ese momento del trabajo anterior de Poisson y asumió que el número de llamadas telefónicas que llegaban en cada intervalo de tiempo eran independientes entre sí. Luego encontró el caso límite, que efectivamente está reformulando la distribución de Poisson como un límite de la distribución binomial. [13]
En 1910, Ernest Rutherford y Hans Geiger publicaron resultados experimentales sobre el recuento de partículas alfa. Su trabajo experimental contó con contribuciones matemáticas de Harry Bateman , quien derivó las probabilidades de Poisson como una solución a una familia de ecuaciones diferenciales, aunque la solución se había obtenido antes, lo que resultó en el descubrimiento independiente del proceso de Poisson. [13] Después de este tiempo hubo muchos estudios y aplicaciones del proceso de Poisson, pero su historia temprana es complicada, lo que ha sido explicado por las diversas aplicaciones del proceso en numerosos campos por biólogos, ecologistas, ingenieros y varios científicos físicos. [13]
Aplicaciones tempranas
Los años posteriores a 1909 llevaron a una serie de estudios y aplicaciones del proceso de punto de Poisson, sin embargo, su historia temprana es compleja, lo que ha sido explicado por las diversas aplicaciones del proceso en numerosos campos por biólogos , ecólogos , ingenieros y otros que trabajan en las ciencias físicas . Los primeros resultados se publicaron en diferentes idiomas y en diferentes entornos, sin utilizar terminología ni notación estándar. [13] Por ejemplo, en 1922, el químico sueco y premio Nobel Theodor Svedberg propuso un modelo en el que un proceso espacial de puntos de Poisson es el proceso subyacente para estudiar cómo se distribuyen las plantas en las comunidades de plantas. [94] Un número de matemáticos comenzaron a estudiar el proceso a principios de 1930, y sus importantes contribuciones fueron hechas por Andrei Kolmogorov , William Feller y Aleksandr Khinchin , [13] entre otros. [95] En el campo de la ingeniería de teletráfico , matemáticos y estadísticos estudiaron y utilizaron Poisson y otros procesos puntuales. [96]
Historia de términos
El sueco Conny Palm, en su disertación de 1943, estudió los procesos de Poisson y otros puntos en el escenario unidimensional examinándolos en términos de la dependencia estadística o estocástica entre los puntos en el tiempo. [97] [96] En su trabajo existe el primer uso registrado conocido del término procesos puntuales como Punktprozesse en alemán. [97] [14]
Se cree [13] que William Feller fue el primero en imprimir en referirse a él como el proceso de Poisson en un artículo de 1940. Aunque el sueco Ove Lundberg utilizó el término proceso de Poisson en su tesis doctoral de 1940, [14] en la que se reconoció a Feller como una influencia, [98] se ha afirmado que Feller acuñó el término antes de 1940. [88] Se ha señalado que tanto Feller como Lundberg usaron el término como si fuera bien conocido, lo que implica que ya estaba en uso hablado para entonces. [14] Feller trabajó de 1936 a 1939 junto a Harald Cramér en la Universidad de Estocolmo , donde Lundberg era un estudiante de doctorado con Cramér que no usó el término proceso de Poisson en un libro suyo, terminado en 1936, pero lo hizo en ediciones posteriores, que su ha llevado a la especulación de que el término proceso de Poisson se acuñó en algún momento entre 1936 y 1939 en la Universidad de Estocolmo. [14]
Terminología
La terminología de la teoría del proceso puntual en general ha sido criticada por ser demasiado variada. [14] Además de la palabra punto que a menudo se omite, [62] [2] el proceso homogéneo de Poisson (punto) también se denomina proceso estacionario de Poisson (punto), [47] así como proceso uniforme de Poisson (punto). [42] El proceso de punto de Poisson no homogéneo, además de ser llamado no homogéneo , [47] también se conoce como el proceso de Poisson no estacionario . [71] [99]
El término proceso puntual ha sido criticado, ya que el término proceso puede sugerir en el tiempo y el espacio, por lo que campo de punto aleatorio , [100] resulta en el uso de los términos campo de punto aleatorio de Poisson o campo de punto de Poisson también. [101] Un proceso puntual se considera, ya veces se denomina, una medida de conteo aleatorio, [102] por lo tanto, el proceso puntual de Poisson también se conoce como una medida aleatoria de Poisson , [103] un término utilizado en el estudio de los procesos de Lévy, [ 103] [104] pero algunos optan por utilizar los dos términos para los procesos de puntos de Poisson definidos en dos espacios subyacentes diferentes. [105]
El espacio matemático subyacente del proceso de puntos de Poisson se denomina espacio portador , [106] [107] o espacio de estados , aunque este último término tiene un significado diferente en el contexto de los procesos estocásticos. En el contexto de procesos puntuales, el término "espacio de estado" puede significar el espacio en el que se define el proceso puntual, como la línea real, [108] [109] que corresponde al conjunto de índices [110] o conjunto de parámetros [111 ] en terminología de procesos estocásticos.
La medida se llama medida de intensidad , [112] medida media , [37] o medida de parámetro , [66] ya que no existen términos estándar. [37] Si tiene una derivada o densidad, denotada por , se denomina función de intensidad del proceso de puntos de Poisson. [20] Para el proceso homogéneo de puntos de Poisson, la derivada de la medida de intensidad es simplemente una constante, que se puede denominar tasa , generalmente cuando el espacio subyacente es la línea real o la intensidad . [42] También se denomina tasa media o densidad media [113] o tasa . [33] Para, el proceso correspondiente a veces se denomina proceso estándar de Poisson (punto). [43] [57] [114]
La extensión del proceso del punto de Poisson a veces se denomina exposición . [115] [116]
Notación
La notación del proceso de puntos de Poisson depende de su configuración y del campo en el que se está aplicando. Por ejemplo, en la línea real, el proceso de Poisson, tanto homogéneo como no homogéneo, a veces se interpreta como un proceso de conteo, y la notación se utiliza para representar el proceso de Poisson. [30] [33]
Otra razón para variar la notación se debe a la teoría de los procesos puntuales, que tiene un par de interpretaciones matemáticas. Por ejemplo, un proceso simple de puntos de Poisson puede considerarse como un conjunto aleatorio, lo que sugiere la notación, lo que implica que es un punto aleatorio que pertenece o es un elemento del proceso de puntos de Poisson . Otra interpretación, más general, es considerar un proceso de Poisson o cualquier otro punto como una medida de conteo aleatorio, por lo que se puede escribir el número de puntos de un proceso de punto de Poisson. ser encontrado o ubicado en alguna región (Borel medible) como , que es una variable aleatoria. Estas diferentes interpretaciones dan como resultado el uso de notación de campos matemáticos como la teoría de medidas y la teoría de conjuntos. [117]
Para procesos de puntos generales, a veces un subíndice en el símbolo de punto, por ejemplo , se incluye para que uno escriba (con notación establecida) en vez de , y se puede usar para la variable ficticia en expresiones integrales como el teorema de Campbell, en lugar de denotar puntos aleatorios. [18] A veces, una letra mayúscula denota el proceso de puntos, mientras que una minúscula denota un punto del proceso, así que, por ejemplo, el punto o pertenece o es un punto del proceso de puntos , y estar escrito con notación establecida como o . [109]
Además, la notación de teoría de conjuntos y de teoría integral o de medida se pueden usar indistintamente. Por ejemplo, para un proceso puntual definido en el espacio de estados euclidianos y una función (medible) en , la expresion
demuestra dos formas diferentes de escribir una suma sobre un proceso puntual (ver también el teorema de Campbell (probabilidad) ). Más específicamente, la notación integral en el lado izquierdo está interpretando el proceso de puntos como una medida de conteo aleatorio, mientras que la suma en el lado derecho sugiere una interpretación de conjunto aleatorio. [117]
Medidas funcionales y de momento
En la teoría de la probabilidad, las operaciones se aplican a variables aleatorias para diferentes propósitos. A veces, estas operaciones son expectativas regulares que producen el promedio o la varianza de una variable aleatoria. Otras, como las funciones características (o transformadas de Laplace) de una variable aleatoria, se pueden utilizar para identificar o caracterizar de forma única las variables aleatorias y demostrar resultados como el teorema del límite central. [118] En la teoría de los procesos puntuales existen herramientas matemáticas análogas que normalmente existen en forma de medidas y funcionales en lugar de momentos y funciones respectivamente. [119] [120]
Funcionales de Laplace
Para un proceso de punto de Poisson con medida de intensidad , el funcional de Laplace viene dado por: [18]
Una versión del teorema de Campbell involucra el funcional de Laplace del proceso de puntos de Poisson.
Funcionales generadores de probabilidad
La función generadora de probabilidad de una variable aleatoria de valor entero no negativo conduce a que la función generadora de probabilidad se defina de forma análoga con respecto a cualquier función acotada no negativa en tal que . Por un proceso puntualel funcional generador de probabilidad se define como: [121]
donde se realiza el producto para todos los puntos en . Si la medida de intensidad de es localmente finito, entonces el está bien definido para cualquier función medible en . Para un proceso de punto de Poisson con medida de intensidad la funcional generadora viene dada por:
que en el caso homogéneo se reduce a
Medida del momento
Para un proceso general de puntos de Poisson con medida de intensidad la medida del primer momento es su medida de intensidad: [18] [19]
que para un proceso homogéneo de puntos de Poisson con intensidad constante medio:
dónde es la longitud, el área o el volumen (o más generalmente, la medida de Lebesgue ) de.
La ecuación de Mecke
La ecuación de Mecke caracteriza el proceso de puntos de Poisson. Dejar ser el espacio de todos -medidas finitas en algún espacio general . Un proceso puntual con intensidad en es un proceso de punto de Poisson si y solo si para todas las funciones medibles lo siguiente sostiene
Para obtener más detalles, consulte. [122]
Medida de momento factorial
Para un proceso general de puntos de Poisson con medida de intensidad la -ésima medida del momento factorial viene dada por la expresión: [123]
dónde es la medida de intensidad o medida del primer momento de , que para algunos Borel fijó es dado por
Para un proceso homogéneo de puntos de Poisson el -ésima medida del momento factorial es simplemente: [18] [19]
dónde es la longitud, el área o el volumen (o más generalmente, la medida de Lebesgue ) de. Además, el-ésima densidad de momento factorial es: [123]
Función de evitación
La función de evitación [68] o probabilidad nula [117] de un proceso puntual se define en relación con algún conjunto , que es un subconjunto del espacio subyacente , ya que la probabilidad de que no haya puntos de existente en . Más precisamente, [124] para un equipo de prueba, la función de evitación viene dada por:
Para un proceso general de puntos de Poisson con medida de intensidad , su función de evitación viene dada por:
Teorema de Rényi
Los procesos puntuales simples se caracterizan completamente por sus probabilidades nulas. [125] En otras palabras, la información completa de un proceso puntual simple se captura completamente en sus probabilidades nulas, y dos procesos puntuales simples tienen las mismas probabilidades nulas si y solo si son los mismos procesos puntuales. El caso del proceso de Poisson a veces se conoce como teorema de Rényi , que lleva el nombre de Alfréd Rényi, quien descubrió el resultado para el caso de un proceso puntual homogéneo en una dimensión. [126]
En una forma, [126] el teorema de Rényi dice que para una medida de radón difusa (o no atómica) en y un set es una unión finita de rectángulos (entonces no Borel [d] ) que si es un subconjunto contable de tal que:
luego es un proceso de punto de Poisson con medida de intensidad .
Operaciones de proceso puntual
Se pueden realizar operaciones matemáticas en procesos puntuales para obtener nuevos procesos puntuales y desarrollar nuevos modelos matemáticos para la ubicación de ciertos objetos. Un ejemplo de una operación se conoce como adelgazamiento que implica eliminar o eliminar los puntos de algún proceso puntual según una regla, creando un nuevo proceso con los puntos restantes (los puntos eliminados también forman un proceso puntual). [128]
Adelgazamiento
Para el proceso de Poisson, el independiente -Las operaciones de adelgazamiento dan como resultado otro proceso de puntos de Poisson. Más específicamente, un-operación de adelgazamiento aplicada a un proceso de punto de Poisson con medida de intensidad da un proceso de puntos de puntos eliminados que también es un proceso de puntos de Poisson con medida de intensidad , que para un conjunto Borel acotado es dado por:
Este resultado de reducción del proceso del punto de Poisson se conoce a veces como teorema de Prekopa . [129] Además, después de adelgazar aleatoriamente un proceso de puntos de Poisson, los puntos conservados o restantes también forman un proceso de puntos de Poisson, que tiene la medida de intensidad
Los dos procesos de puntos de Poisson separados formados respectivamente a partir de los puntos eliminados y conservados son estocásticamente independientes entre sí. [128] En otras palabras, si se sabe que una región contienepuntos guardados (del proceso de puntos de Poisson original), entonces esto no tendrá influencia en el número aleatorio de puntos eliminados en la misma región. Esta capacidad de crear aleatoriamente dos procesos de puntos de Poisson independientes a partir de uno se conoce a veces como división [130] [131] del proceso de puntos de Poisson.
Superposición
Si hay una colección contable de procesos puntuales , luego su superposición, o, en el lenguaje de la teoría de conjuntos, su unión, que es [132]
también forma un proceso puntual. En otras palabras, cualquier punto ubicado en cualquiera de los procesos de puntos también se ubicará en la superposición de estos procesos puntuales .
Teorema de superposición
El teorema de superposición del proceso de puntos de Poisson dice que la superposición de procesos independientes de puntos de Poisson con medidas medias también será un proceso de punto de Poisson con medida media [133] [88]
En otras palabras, la unión de dos (o contablemente más) procesos de Poisson es otro proceso de Poisson. Si un punto se toma una muestra de un contable unión de procesos de Poisson, entonces la probabilidad de que el punto pertenece a la el proceso de Poisson es dado por:
Para dos procesos de Poisson homogéneos con intensidades , las dos expresiones anteriores se reducen a
y
Agrupación
La agrupación de operaciones se realiza cuando cada punto de algún proceso puntual es reemplazado por otro proceso puntual (posiblemente diferente). Si el proceso original es un proceso de punto de Poisson, entonces el proceso resultante se denomina proceso de puntos de clúster de Poisson.
Desplazamiento aleatorio
Un modelo matemático puede requerir el movimiento aleatorio de puntos de un proceso puntual a otras ubicaciones en el espacio matemático subyacente, lo que da lugar a una operación de proceso puntual conocida como desplazamiento [134] o traslación. [135] El proceso de puntos de Poisson se ha utilizado para modelar, por ejemplo, el movimiento de plantas entre generaciones, debido al teorema de desplazamiento, [134] que dice vagamente que el desplazamiento aleatorio independiente de puntos de un proceso de puntos de Poisson (en el mismo espacio subyacente) forma otro proceso de puntos de Poisson.
Teorema de desplazamiento
Una versión del teorema de desplazamiento [134] implica un proceso de puntos de Poisson en con función de intensidad . Entonces se asume que los puntos de se desplazan aleatoriamente a otro lugar de de modo que el desplazamiento de cada punto sea independiente y que el desplazamiento de un punto anteriormente en es un vector aleatorio con densidad de probabilidad . [e] Luego, el nuevo proceso de puntos es también un proceso de punto de Poisson con función de intensidad
Si el proceso de Poisson es homogéneo con y si es una función de , luego
En otras palabras, después de cada desplazamiento aleatorio e independiente de puntos, el proceso de puntos de Poisson original todavía existe.
El teorema del desplazamiento puede extenderse de manera que los puntos de Poisson se desplacen aleatoriamente de un espacio euclidiano. a otro espacio euclidiano , dónde no es necesariamente igual a . [18]
Cartografía
Otra propiedad que se considera útil es la capacidad de mapear un proceso de punto de Poisson desde un espacio subyacente a otro espacio. [136]
Teorema de mapeo
Si el mapeo (o transformación) se adhiere a algunas condiciones, entonces la colección de puntos mapeada (o transformada) resultante también forma un proceso de puntos de Poisson, y este resultado a veces se denomina teorema de mapeo . [136] [137] El teorema involucra algún proceso de puntos de Poisson con medida mediaen algún espacio subyacente. Si las ubicaciones de los puntos están mapeadas (es decir, el proceso de puntos se transforma) de acuerdo con alguna función a otro espacio subyacente, entonces el proceso de puntos resultante también es un proceso de puntos de Poisson pero con una medida media diferente..
Más específicamente, se puede considerar una función (Borel medible) que mapea un proceso puntual con medida de intensidad desde un espacio , a otro espacio de tal manera que el proceso de punto nuevo tiene la medida de intensidad:
sin átomos, donde es un conjunto de Borel y denota la inversa de la función . Si es un proceso de punto de Poisson, entonces el nuevo proceso es también un proceso de punto de Poisson con la medida de intensidad .
Aproximaciones con procesos puntuales de Poisson
La manejabilidad del proceso de Poisson significa que a veces es conveniente aproximar un proceso de punto que no es de Poisson con uno de Poisson. El objetivo general es aproximar el número de puntos de algún proceso de puntos y la ubicación de cada punto mediante un proceso de puntos de Poisson. [138] Hay varios métodos que pueden utilizarse para justificar, de manera informal o rigurosa, la aproximación de la ocurrencia de eventos o fenómenos aleatorios con procesos puntuales de Poisson adecuados. Los métodos más rigurosos implican derivar límites superiores en las métricas de probabilidad entre los procesos puntuales de Poisson y no Poisson, mientras que otros métodos pueden justificarse mediante heurísticas menos formales. [139]
Agrupamiento heurístico
Un método para aproximar eventos o fenómenos aleatorios con procesos de Poisson se llama heurística de agrupamiento . [140] La heurística o principio general implica el uso del proceso de puntos de Poisson (o distribución de Poisson) para aproximar eventos, que se consideran raros o poco probables, de algún proceso estocástico. En algunos casos, estos eventos raros están cerca de ser independientes, por lo que se puede utilizar un proceso de puntos de Poisson. Cuando los eventos no son independientes, sino que tienden a ocurrir en grupos o grumos , a continuación, si estos grupos están definidos adecuadamente, de manera que son aproximadamente independiente de la otra, entonces el número de grupos que se producen estará cerca de una variable aleatoria de Poisson [139] y las ubicaciones de los grupos estarán cerca de un proceso de Poisson. [140]
El método de Stein
El método de Stein es una técnica matemática desarrollada originalmente para aproximar variables aleatorias como las variables de Gauss y Poisson, que también se ha aplicado a procesos puntuales. El método de Stein se puede utilizar para derivar límites superiores en métricas de probabilidad , que dan paso a cuantificar cómo varían estocásticamente dos objetos matemáticos aleatorios diferentes. [138] [141] Se han derivado límites superiores en métricas de probabilidad, como la variación total y la distancia de Wasserstein . [138]
Los investigadores han aplicado el método de Stein a los procesos puntuales de Poisson de varias formas, [138] como mediante el cálculo de Palm . [107] Se han desarrollado técnicas basadas en el método de Stein para factorizar en los límites superiores los efectos de ciertas operaciones de procesos puntuales como el adelgazamiento y la superposición. [142] [143] El método de Stein también se ha utilizado para derivar límites superiores en métricas de Poisson y otros procesos como el proceso de punto de Cox , que es un proceso de Poisson con una medida de intensidad aleatoria. [138]
Convergencia a un proceso de punto de Poisson
En general, cuando se aplica una operación a un proceso puntual general, el proceso resultante no suele ser un proceso puntual de Poisson. Por ejemplo, si un proceso puntual, distinto de Poisson, tiene sus puntos desplazados aleatoria e independientemente, entonces el proceso no sería necesariamente un proceso puntual de Poisson. Sin embargo, bajo ciertas condiciones matemáticas tanto para el proceso puntual original como para el desplazamiento aleatorio, se ha demostrado mediante teoremas límite que si los puntos de un proceso puntual se desplazan repetidamente de manera aleatoria e independiente, entonces la distribución finita del punto El proceso convergerá (débilmente) al de un proceso de punto de Poisson. [144]
Se han desarrollado resultados de convergencia similares para operaciones de adelgazamiento y superposición [144] que muestran que tales operaciones repetidas en procesos puntuales pueden, bajo ciertas condiciones, dar como resultado que el proceso converja a procesos puntuales de Poisson, siempre que se cambie la escala adecuada de la medida de intensidad (de lo contrario los valores de la medida de intensidad de los procesos puntuales resultantes se acercarían a cero o al infinito). Tal trabajo de convergencia está directamente relacionado con los resultados conocidos como ecuaciones de Palm-Khinchin [f] , que tiene su origen en el trabajo de Conny Palm y Aleksandr Khinchin , [145] y ayuda a explicar por qué el proceso de Poisson a menudo se puede usar como un modelo matemático de varios fenómenos aleatorios. [144]
Generalizaciones de procesos puntuales de Poisson
El proceso de puntos de Poisson se puede generalizar, por ejemplo, cambiando su medida de intensidad o definiendo espacios matemáticos más generales. Estas generalizaciones pueden estudiarse matemáticamente y usarse para modelar matemáticamente o representar fenómenos físicos.
Medidas aleatorias de tipo Poisson
Las medidas aleatorias de tipo Poisson (PT) son una familia de tres medidas de conteo aleatorias que están cerradas bajo restricción a un subespacio, es decir, cerradas bajo operación de proceso puntual # Dilución . Estas medidas aleatorias son ejemplos del proceso binomial mixto y comparten la propiedad de auto-similitud distributiva de la medida aleatoria de Poisson . Son los únicos miembros de la familia de distribuciones de series de potencia no negativas canónicas que poseen esta propiedad e incluyen la distribución de Poisson , la distribución binomial negativa y la distribución binomial . La medida aleatoria de Poisson es independiente de los subespacios disjuntos, mientras que las otras medidas aleatorias de PT (binomial y binomial negativa) tienen covarianzas positivas y negativas. Las medidas aleatorias de TP se analizan [146] e incluyen la medida aleatoria de Poisson, la medida aleatoria binomial negativa y la medida aleatoria binomial.
Procesos de puntos de Poisson en espacios más generales
Para los modelos matemáticos, el proceso de puntos de Poisson se define a menudo en el espacio euclidiano, [1] [37] pero se ha generalizado a espacios más abstractos y juega un papel fundamental en el estudio de medidas aleatorias, [147] [148] lo que requiere una comprensión de campos matemáticos como la teoría de la probabilidad, la teoría de la medida y la topología. [149]
En general, el concepto de distancia es de interés práctico para las aplicaciones, mientras que la estructura topológica es necesaria para las distribuciones Palm, lo que significa que los procesos puntuales suelen definirse en espacios matemáticos con métricas. [150] Además, la realización de un proceso puntual puede considerarse como una medida de conteo, por lo que los procesos puntuales son tipos de medidas aleatorias conocidas como medidas de conteo aleatorias. [114] En este contexto, el Poisson y otros procesos puntuales se han estudiado en un segundo espacio contable de Hausdorff localmente compacto. [151]
Proceso de puntos de Cox
Un proceso de punto de Cox , proceso de Cox o proceso de Poisson doblemente estocástico es una generalización del proceso de punto de Poisson al permitir que su intensidad midapara ser también aleatorio e independiente del proceso de Poisson subyacente. El proceso lleva el nombre de David Cox, quien lo introdujo en 1955, aunque Lucien Le Cam y Maurice Quenouille habían introducido de forma independiente otros procesos de Poisson con intensidades aleatorias. [14] La medida de intensidad puede ser una realización de una variable aleatoria o un campo aleatorio. Por ejemplo, si el logaritmo de la medida de intensidad es un campo aleatorio gaussiano , entonces el proceso resultante se conoce como un proceso log Gaussiano de Cox . [152] De manera más general, las medidas de intensidad son una realización de una medida aleatoria local finita no negativa. Los procesos de puntos de Cox exhiben una agrupación de puntos, que se puede demostrar matemáticamente que son más grandes que los de los procesos de puntos de Poisson. La generalidad y manejabilidad de los procesos de Cox ha hecho que se utilicen como modelos en campos como la estadística espacial [153] y las redes inalámbricas. [19]
Proceso de punto de Poisson marcado
Para un proceso puntual dado, cada punto aleatorio de un proceso puntual puede tener un objeto matemático aleatorio, conocido como marca , asignado aleatoriamente. Estas marcas pueden ser tan diversas como enteros, números reales, líneas, objetos geométricos u otros procesos puntuales. [154] [155] El par que consta de un punto del proceso puntual y su marca correspondiente se denomina punto marcado, y todos los puntos marcados forman un proceso puntual marcado . [156] A menudo se asume que las marcas aleatorias son independientes entre sí y están distribuidas de manera idéntica, sin embargo, la marca de un punto aún puede depender de la ubicación de su punto correspondiente en el espacio subyacente (estado). [157] Si el proceso de puntos subyacente es un proceso de puntos de Poisson, entonces el proceso de puntos resultante es un proceso de puntos de Poisson marcado . [158]
Teorema de marcado
Si un proceso de punto general se define en algún espacio matemático y las marcas aleatorias se definen en otro espacio matemático, entonces el proceso de punto marcado se define en el producto cartesiano de estos dos espacios. Para un proceso de punto de Poisson marcado con marcas independientes e idénticamente distribuidas, el teorema de marcado [157] [159] establece que este proceso de punto marcado es también un proceso de punto de Poisson (no marcado) definido en el producto cartesiano antes mencionado de los dos espacios matemáticos. , que no es cierto para los procesos puntuales generales.
Proceso compuesto de puntos de Poisson
El proceso de punto de Poisson compuesto o el proceso de Poisson compuesto se forma agregando valores aleatorios o pesos a cada punto del proceso de punto de Poisson definido en algún espacio subyacente, por lo que el proceso se construye a partir de un proceso de punto de Poisson marcado, donde las marcas forman una colección de puntos de Poisson independientes. y variables aleatorias no negativas distribuidas de forma idéntica . En otras palabras, para cada punto del proceso de Poisson original, hay una variable aleatoria no negativa independiente e idénticamente distribuida, y luego el proceso de Poisson compuesto se forma a partir de la suma de todas las variables aleatorias correspondientes a los puntos del proceso de Poisson ubicados en alguna región del espacio matemático subyacente. [160]
Si hay un proceso de punto de Poisson marcado formado a partir de un proceso de punto de Poisson (definido en, por ejemplo, ) y una colección de marcas no negativas independientes e idénticamente distribuidas tal que para cada punto del proceso de Poisson hay una variable aleatoria no negativa , el proceso de Poisson compuesto resultante es entonces: [161]
dónde es un conjunto medible de Borel.
Si las variables aleatorias generales tomar valores en, por ejemplo, -espacio euclidiano dimensional , el proceso compuesto de Poisson resultante es un ejemplo de un proceso Lévy siempre que se forme a partir de un proceso Point homogéneo definido en los números no negativos . [162]
Proceso de falla con el suavizado exponencial de las funciones de intensidad.
El proceso de falla con el suavizado exponencial de las funciones de intensidad (FP-ESI) es una extensión del proceso de Poisson no homogéneo. La función de intensidad de un FP-ESI es una función de suavizado exponencial de las funciones de intensidad en los últimos momentos de ocurrencia de eventos y supera a otros nueve procesos estocásticos en 8 conjuntos de datos de fallas del mundo real cuando los modelos se utilizan para ajustar los conjuntos de datos, [163 ] donde el rendimiento del modelo se mide en términos de AIC ( criterio de información de Akaike ) y BIC ( criterio de información bayesiano ).
Ver también
- Modelo booleano (teoría de la probabilidad)
- Teoría de la percolación continua
- Proceso de Poisson compuesto
- Proceso de Cox
- Proceso de puntos
- Geometría estocástica
- Modelos de geometría estocástica de redes inalámbricas
- Procesos de llegada de Markov
Notas
- ^ Consulte la Sección 2.3.2 de Chiu, Stoyan, Kendall, Mecke [1] o la Sección 1.3 de Kingman. [2]
- ^ Por ejemplo, es posible que un evento que no ocurre en el sentido de la teoría de las colas sea un evento en el sentido de la teoría de la probabilidad.
- ^ En lugar de y , se podría escribir, por ejemplo, en coordenadas polares (bidimensionales) y , dónde y denotar las coordenadas radiales y angulares respectivamente, y así sería un elemento de área en este ejemplo.
- ^ Este conjuntoestá formado por un número finito de uniones, mientras que un conjunto de Borel está formado por un número contable de operaciones de conjuntos. [127]
- ^ Kingman [134] llama a esto una densidad de probabilidad, pero en otros recursos esto se llama un núcleo de probabilidad . [18]
- ^ También deletreado Palm – Khintchine en, por ejemplo, Point Processes de Cox & Isham (1980 , p. 41)
Referencias
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