En matemáticas, el teorema de Specht da una condición necesaria y suficiente para que dos matrices sean unitariamente equivalentes . Lleva el nombre de Wilhelm Specht , quien demostró el teorema en 1940. [1]
Se dice que dos matrices A y B son unitariamente equivalentes si existe una matriz unitaria U tal que B = U * AU . [2] Dos matrices que son unitariamente equivalentes también son similares . Dos matrices similares representan el mismo mapa lineal , pero con respecto a una base diferente ; La equivalencia unitaria corresponde a un cambio de una base ortonormal a otra base ortonormal.
Si A y B son unitariamente equivalentes, entonces tr AA * = tr BB *, donde tr denota la traza (en otras palabras, la norma de Frobenius es un invariante unitario). Esto se sigue de la invariancia cíclica de la traza: si B = U * AU , entonces tr BB * = tr U * AUU * A * U = tr AUU * A * UU * = tr AA *, donde la segunda igualdad es la invariancia cíclica . [3]
Por tanto, tr AA * = tr BB * es una condición necesaria para la equivalencia unitaria, pero no es suficiente. El teorema de Specht da infinitas condiciones necesarias que juntas también son suficientes. La formulación del teorema utiliza la siguiente definición. Una palabra en dos variables, digamos x e y , es una expresión de la forma
donde m 1 , n 1 , m 2 , n 2 ,…, m p son números enteros no negativos. El grado de esta palabra es
El teorema de Specht: dos matrices A y B son unitariamente equivalentes si y sólo si tr W ( A , A *) = tr W ( B , B *) para todas las palabras W . [4]
El teorema da un número infinito de identidades de trazas, pero se puede reducir a un subconjunto finito. Deje n denotar el tamaño de las matrices A y B . Para el caso n = 2, las siguientes tres condiciones son suficientes: [5]
Para n = 3, las siguientes siete condiciones son suficientes:
Para n general , basta con mostrar que tr W ( A , A *) = tr W ( B , B *) para todas las palabras de grado como máximo
Se ha conjeturado que esto se puede reducir a una expresión lineal en n . [8]
Notas
- ↑ Specht (1940)
- ^ Horn y Johnson (1985) , definición 2.2.1
- ^ Horn y Johnson (1985) , Teorema 2.2.2
- ^ Horn y Johnson (1985) , Teorema 2.2.6
- ^ Horn y Johnson (1985) , Teorema 2.2.8
- ↑ Sibirskiǐ (1976) , pág. 260, citado por Đoković & Johnson (2007)
- ^ Pappacena (1997) , Teorema 4.3
- ^ Freedman, Gupta y Guralnick (1997) , p. 160
Referencias
- Đoković, Dragomir Ž .; Johnson, Charles R. (2007), "Patrones de cero alcanzables unitariamente y rastros de palabras en A y A *", Álgebra lineal y sus aplicaciones , 421 (1): 63–68, doi : 10.1016 / j.laa.2006.03. 002 , ISSN 0024-3795.
- Freedman, Allen R .; Gupta, Ram Niwas; Guralnick, Robert M. (1997), "Teorema de Shirshov y representaciones de semigrupos", Pacific Journal of Mathematics , 181 (3): 159-176, doi : 10.2140 / pjm.1997.181.159 , ISSN 0030-8730.
- Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (1985), Análisis de matrices , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6.
- Pappacena, Christopher J. (1997), "Un límite superior para la longitud de un álgebra de dimensión finita", Journal of Algebra , 197 (2): 535–545, doi : 10.1006 / jabr.1997.7140 , ISSN 0021-8693.
- Sibirskiǐ, KS (1976), Invariantes algebraicos de ecuaciones diferenciales y matrices (en ruso), Izdat. "Štiinca", Kishinev.
- Specht, Wilhelm (1940), "Zur Theorie der Matrizen. II" , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 50 : 19–23, ISSN 0012-0456.