En álgebra lineal , dos matrices A y B n- por- n se llaman similares si existe una matriz P invertible n- por- n tal que
Matrices similares representan el mismo mapa lineal bajo dos (posiblemente) bases diferentes , siendo P la matriz de cambio de base . [1] [2]
Una transformación A ↦ P -1 AP se denomina transformación de semejanza o conjugación de la matriz A . En el grupo lineal general , la similitud es, por lo tanto, lo mismo que la conjugación , y las matrices similares también se denominan conjugadas ; sin embargo, en un subgrupo dado H del grupo lineal general, la noción de conjugación puede ser más restrictiva que la similitud, ya que requiere que P elegirse para mentira en H .
Ejemplo motivador
Al definir una transformación lineal, puede darse el caso de que un cambio de base resulte en una forma más simple de la misma transformación. Por ejemplo, la matriz que representa una rotación en ℝ 3 cuando el eje de rotación no está alineado con el eje de coordenadas puede ser complicada de calcular. Si el eje de rotación estuviera alineado con el eje z positivo , entonces simplemente sería
- ,
dónde es el ángulo de rotación. En el nuevo sistema de coordenadas, la transformación se escribiría como
- ,
donde x ' e y' son respectivamente los vectores original y transformado en una nueva base que contiene un vector paralelo al eje de rotación. En la base original, la transformación se escribiría como
- ,
donde los vectores x y y y lo desconocido transforman matriz T están en la base original. Para escribir T en términos de la matriz simple, se utiliza el de cambio de base de la matriz P que transforma x e y como se y :
Por tanto, la matriz en la base original está dada por . Se encuentra que la transformación en la base original es el producto de tres matrices fáciles de derivar. En efecto, la transformación de similitud opera en tres pasos: cambiar a una nueva base ( P ), realizar la transformación simple ( S ) y volver a la base anterior ( P −1 ).
Propiedades
La similitud es una relación de equivalencia en el espacio de matrices cuadradas.
Debido a que las matrices son similares si y solo si representan el mismo operador lineal con respecto a (posiblemente) diferentes bases, las matrices similares comparten todas las propiedades de su operador subyacente compartido:
- Rango
- Polinomio característico y atributos que se pueden derivar de él:
- Multiplicidades geométricas de valores propios (pero no los espacios propios, que se transforman según la matriz de cambio de base P utilizada).
- Polinomio mínimo
- Forma normal de Frobenius
- Forma normal de Jordan , hasta una permutación de los bloques de Jordan
- Índice de nilpotencia
- Divisores elementales , que forman un conjunto completo de invariantes para la similitud de matrices sobre un dominio ideal principal
Debido a esto, para una matriz A dada , uno está interesado en encontrar una "forma normal" simple B que sea similar a A ; el estudio de A se reduce entonces al estudio de la matriz B más simple . Por ejemplo, A se llama diagonalizable si es similar a una matriz diagonal . No todas las matrices son diagonalizables, pero al menos sobre los números complejos (o cualquier campo algebraicamente cerrado ), cada matriz es similar a una matriz en forma de Jordan . Ninguna de estas formas es única (las entradas diagonales o los bloques de Jordan pueden permutarse) por lo que no son formas realmente normales; además, su determinación depende de poder factorizar el polinomio mínimo o característico de A (de manera equivalente, encontrar sus autovalores). La forma canónica racional no tiene estos inconvenientes: existe en cualquier campo, es verdaderamente única y se puede calcular utilizando sólo operaciones aritméticas en el campo; A y B son similares si y solo si tienen la misma forma canónica racional. La forma canónica racional está determinada por los divisores elementales de A ; estos se pueden leer inmediatamente de una matriz en forma de Jordan, pero también se pueden determinar directamente para cualquier matriz calculando la forma normal de Smith , sobre el anillo de polinomios, de la matriz (con entradas polinomiales) XI n - A (el mismo cuyo determinante define el polinomio característico). Tenga en cuenta que esta forma normal de Smith no es una forma normal de A en sí misma; además tampoco es similar a XI n - A , sino que se obtiene a partir de este último mediante multiplicaciones por izquierda y derecha por diferentes matrices invertibles (con entradas polinómicas).
La similitud de matrices no depende del campo base: si L es un campo que contiene K como subcampo , y A y B son dos matrices sobre K , entonces A y B son similares como matrices sobre K si y solo si son similares a matrices sobre L . Esto es así porque la forma canónica racional sobre K es también la forma canónica racional sobre L . Esto significa que se pueden usar formas de Jordan que solo existen en un campo más grande para determinar si las matrices dadas son similares.
En la definición de similitud, si la matriz P puede elegirse para que sea una matriz de permutación, entonces A y B son similares a la permutación; si se puede elegir que P sea una matriz unitaria, entonces A y B son unitariamente equivalentes. El teorema espectral dice que toda matriz normal es unitariamente equivalente a alguna matriz diagonal. El teorema de Specht establece que dos matrices son unitariamente equivalentes si y solo si satisfacen ciertas trazas de igualdad.
Ver también
Notas
- ^ Beauregard y Fraleigh (1973 , págs. 240–243)
- ^ Bronson (1970 , págs. 176-178)
Referencias
- Beauregard, Raymond A .; Fraleigh, John B. (1973), Un primer curso de álgebra lineal: con introducción opcional a grupos, anillos y campos , Boston: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
- Bronson, Richard (1970), Métodos de matriz: una introducción , Nueva York: Academic Press , LCCN 70097490
- Horn y Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2 . (La similitud se discute en muchos lugares, a partir de la página 44).