En matemáticas , la línea proyectiva sobre un anillo es una extensión del concepto de línea proyectiva sobre un campo . Dado un anillo A con 1, la línea proyectiva P ( A ) sobre A consta de puntos identificados por coordenadas proyectivas . Sea U el grupo de unidades de A ; los pares ( a, b ) y ( c, d ) de A × A están relacionados cuando hay una u en U tal que ua = cy ub = d . Esta relación es una relación de equivalencia . Una clase de equivalencia típica se escribe U [ a, b ].
P ( A ) = { U [ a, b ]: aA + bA = A }, es decir, U [ a, b ] se encuentra en la línea proyectiva si el ideales generada por una y b es todo de A .
La línea proyectiva P ( A ) está equipada con un grupo de homografías . Las homografías se expresan mediante el uso del anillo de la matriz sobre A y su grupo de unidades V de la siguiente manera: si c está en Z ( U ), el centro de U , entonces la acción de grupo de la matrizen P ( A ) es lo mismo que la acción de la matriz identidad. Tales matrices representan un subgrupo normal N de V . Los homografías de P ( A corresponden) a elementos de la grupo cociente V / N .
P ( A ) se considera una extensión del anillo A ya que contiene una copia de A debido a la incrustación E : a → U [ a , 1] . El mapeo inverso multiplicativo u → 1 / u , normalmente restringido al grupo de unidades U de A , se expresa mediante una homografía en P ( A ):
Además, para u , v ∈ U , el mapeo a → uav se puede extender a una homografía:
Dado que u es arbitrario, puede sustituirse por u −1 . Las homografías sobre P ( A ) se denominan transformaciones lineales-fraccionales ya que
Instancias
Los anillos que son campos son los más familiares: la línea proyectiva sobre GF (2) tiene tres elementos: U [0,1], U [1,0] y U [1,1]. Su grupo de homografía es el grupo de permutación de estos tres. [1] : 29
El anillo Z / 3 Z , o GF (3), tiene los elementos 1, 0 y −1; su línea proyectiva tiene los cuatro elementos U [1,0], U [1,1], U [0,1], U [1, −1] ya que tanto 1 como −1 son unidades . El grupo de homografía en esta línea proyectiva tiene 12 elementos, también descritos con matrices o como permutaciones. [1] : 31 Para un campo finito GF ( q ), la línea proyectiva es la geometría de Galois PG (1, q ). JWP Hirschfeld ha descrito las tétradas armónicas en las líneas proyectivas para q = 4, 5, 7, 8, 9. [2]
Sobre anillos finitos
Considere P ( Z / n Z ) cuando n es un número compuesto . Si p y q son números primos distintos que dividen n , entonces < p > y < q > son ideales maximales en Z / n Z y por la identidad de Bézout hay una y b en Z de tal manera que ap + bq = 1 , de modo que U [ p , q ] está en P ( Z / n Z ) pero no es una imagen de un elemento bajo la incrustación canónica. El conjunto de P ( Z / n Z ) se llena a cabo por elementos de U [ arriba , VQ ], u ≠ v , u , v ∈ U = las unidades de Z / n Z . Las instancias Z / n Z se dan aquí para n = 6, 10 y 12, donde según la aritmética modular el grupo de unidades del anillo es U = {1,5}, U = {1,3,7,9 } y U = {1,5,7,11} respectivamente. La aritmética modular confirmará que, en cada tabla, una letra determinada representa múltiples puntos. En estas tablas, un punto U [ m , n ] está etiquetado con m en la fila de la parte inferior de la tabla yn en la columna de la izquierda de la tabla. Por ejemplo, el punto en el infinito A = U [ v , 0], donde v es una unidad del anillo.
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Los puntos extra se pueden asociar con Q ⊂ R ⊂ C , los racionales en el semiplano superior complejo extendido . El grupo de homografías en P ( Z / n Z ) se denomina subgrupo de congruencia principal . [3]
Sobre anillos topológicos
La línea proyectiva sobre un anillo de división da como resultado un único punto auxiliar ∞ = U [1,0] . Los ejemplos incluyen la línea proyectiva real , la línea proyectiva compleja y la línea proyectiva sobre cuaterniones . Estos ejemplos de anillos topológicos tienen la línea proyectiva como sus compactaciones de un punto . El caso del campo de número complejo C tiene el grupo de Möbius como su grupo de homografía. Para los números racionales Q , la homogeneidad de coordenadas significa que cada elemento de P ( Q ) puede estar representado por un elemento de P ( Z ). De manera similar, una homografía de P ( Q ) corresponde a un elemento del grupo modular , los automorfismos de P ( Z ).
La línea proyectiva sobre los números duales fue descrita por Josef Grünwald en 1906. [4] Este anillo incluye una n nilpotente distinta de cero que satisface nn = 0 . El plano { z = x + yn : x , y ∈ R } de los números de doble tiene una línea proyectiva incluyendo una línea de puntos U [1, xn ], x ∈ R . [5] Isaak Yaglom lo ha descrito como un "plano galileano inverso" que tiene la topología de un cilindro cuando se incluye la línea suplementaria. [6] : 149-53 mismo modo, si A es un anillo local , entonces P ( A ) está formada por puntos adyacentes que corresponden a los elementos de la máxima ideales de A .
La línea proyectiva sobre el anillo M de números complejos divididos introduce líneas auxiliares { U [1, x (1 + j)]: x ∈ R } y { U [1, x (1 - j)]: x ∈ R } . Usando la proyección estereográfica, el plano de números complejos divididos se cierra con estas líneas a un hiperboloide de una hoja. [6] : 174-200 [7] La línea proyectiva sobre M puede llamarse el plano de Minkowski cuando se caracteriza por el comportamiento de hipérbolas bajo el mapeo homogéneo.
Cadenas
La línea real en el plano complejo se permuta con círculos y otras líneas reales bajo las transformaciones de Möbius , que en realidad permutan la incrustación canónica de la línea proyectiva real en la línea proyectiva compleja . Suponga que A es un álgebra sobre un campo F , generalizando el caso donde F es el campo de números reales y A es el campo de números complejos . La incrustación canónica de P ( F ) en P ( A ) es
Una cadena es la imagen de P ( F ) bajo una homografía en P ( A ). Cuatro puntos se encuentran en una cadena si y sólo si su razón doble está en F . Karl von Staudt explotó esta propiedad en su teoría de los "golpes reales" [reeler Zug]. [8]
Paralelismo puntual
Dos puntos de P ( A ) son paralelos si no hay una cadena que los conecte. Se ha adoptado la convención de que los puntos son paralelos a sí mismos. Esta relación es invariante bajo la acción de una homografía en la línea proyectiva. Dados tres puntos no paralelos por pares, hay una cadena única que conecta los tres. [9]
Módulos
La línea proyectiva P ( A ) sobre un anillo A también se puede identificar como el espacio de los módulos proyectivos en el módulo. . Un elemento de P ( A ) es entonces una suma directa de. Este enfoque más abstracto sigue la visión de la geometría proyectiva como la geometría de subespacios de un espacio vectorial , a veces asociada con la teoría de celosía de Garrett Birkhoff [10] o el libro Álgebra lineal y geometría proyectiva de Reinhold Baer . En el caso del anillo de racional números enteros Z , la definición del módulo de sumandos de P ( Z ) se estrecha atención a la U [ m, n ], m primos entre sí a n , y arroja las incrustaciones que son una característica principio de P ( A ) cuando A es topológico. El artículo de 1981 de W. Benz, Hans-Joachim Samaga y Helmut Scheaffer menciona la definición de suma directa.
En un artículo "Representaciones proyectivas: líneas proyectivas sobre anillos" [11] el grupo de unidades de un anillo matricial M 2 ( R ) y los conceptos de módulo y bimódulo se utilizan para definir una línea proyectiva sobre un anillo. El grupo de unidades se denota mediante GL (2, R ), adoptando la notación del grupo lineal general , donde R se suele tomar como un campo.
La línea proyectiva es el conjunto de órbitas bajo GL (2, R ) de la libre cíclico submódulo R (1,0) de R × R . Ampliando la teoría conmutativa de Benz, la existencia de un inverso multiplicativo derecho o izquierdo de un elemento de anillo está relacionado con P ( R ) y GL (2, R ). Se caracteriza la propiedad finita de Dedekind . Más significativamente, la representación de P ( R ) en un espacio proyectivo sobre un anillo de división K se logra con un ( K , R ) -bimódulo U que es un espacio de vector K izquierdo y un módulo R derecho . Los puntos de P ( R ) son subespacios de P ( K , U × U ) isomorfos a sus complementos.
Razón cruzada
Una homografía h que lleva tres elementos de anillo particulares a , b , c a los puntos de línea proyectiva U [0,1], U [1,1], U [1,0] se denomina homografía de relación cruzada . A veces [12] [13] la relación cruzada se toma como el valor de h en un cuarto punto x : ( x , a , b , c ) = h ( x ) .
Para construir h a partir de a , b , c las homografías del generador
se utilizan, con atención a los puntos fijos : +1 y −1 se fijan en inversión, U [1,0] se fija en traslación, y la "rotación" con u deja a U [0,1] y U [1,0 ] reparado. Las instrucciones son para lugar c primero, a continuación, llevar una a U [0,1] con la traducción, y, finalmente, a la rotación uso para mover b a U [1,1].
Lema: Si A es un anillo conmutativo y b - a , c - b , c - a son todas unidades, entonces
- es una unidad.
prueba: evidentemente es una unidad, según sea necesario.
Teorema: Si es una unidad, entonces hay una homografía h en G ( A ) tal que
- h ( a ) = U [0,1], h ( b ) = U [1,1] y h ( c ) = U [1,0].
prueba: el punto es la imagen de b después de que a se puso en 0 y luego se invirtió en U [1,0], y la imagen de c se llevó a U [0,1]. Como p es una unidad, su inverso usado en una rotación moverá p a U [1,1], resultando en que a, b, c estén todos correctamente colocados. El lema se refiere a condiciones suficientes para la existencia de h .
Una aplicación de razón cruzada define el conjugado armónico proyectivo de un triple a, b, c , como el elemento x que satisface ( x, a, b, c ) = −1. Tal cuádruple es una tétrada armónica . Las tétradas armónicas en la línea proyectiva sobre un campo finito GF ( q ) se utilizaron en 1954 para delimitar los grupos lineales proyectivos PGL (2, q ) para q = 5, 7 y 9, y demostrar isomorfismos accidentales . [14]
Historia
August Ferdinand Möbius investigó las transformaciones de Möbius entre su libro Barycentric Calculus (1827) y su artículo de 1855 "Theorie der Kreisverwandtschaft in rein geometrischer Darstellung". A Karl Wilhelm Feuerbach y Julius Plücker también se les atribuye el origen del uso de coordenadas homogéneas. Eduard Study en 1898, y Élie Cartan en 1908, escribieron artículos sobre números hipercomplejos para Enciclopedias de Matemáticas alemanas y francesas , respectivamente, donde utilizan estas aritméticas con transformaciones fraccionarias lineales a imitación de las de Möbius. En 1902, Theodore Vahlen contribuyó con un artículo breve pero bien referenciado que exploraba algunas transformaciones fraccionarias lineales de un álgebra de Clifford . [15] El anillo de números duales D le dio a Josef Grünwald la oportunidad de exhibir P ( D ) en 1906. [4] Corrado Segre (1912) continuó el desarrollo con ese anillo. [5]
Arthur Conway , uno de los primeros en adoptar la relatividad a través de transformaciones de biquaternion , consideró la transformación cuaternión-multiplicativa-inversa en su estudio de relatividad de 1911. [16] En 1947, PG Gormley en Irlanda describió algunos elementos de geometría de cuaterniones inversos. [17] En 1968 Isaak Yaglom 's números complejos en la geometría apareció en Inglés, traducido del ruso. Allí usa P ( D ) para describir la geometría de la línea en el plano euclidiano y P ( M ) para describirla para el plano de Lobachevski. El texto de Yaglom A Simple Non-Euclidean Geometry apareció en inglés en 1979. Allí, en las páginas 174 a 200, desarrolla la geometría Minkowskiana y describe P ( M ) como el "plano inverso de Minkowski". El original rusa del texto de Yaglom fue publicado en 1969. Entre las dos ediciones, Walter Benz (1973) publicó su libro [7] que incluía las coordenadas homogéneas tomados de M .
Ver también
- Huerto de Euclides
notas y referencias
- ^ a b Robert Alexander Rankin (1977) Formas y funciones modulares , Cambridge University Press ISBN 0-521-21212-X
- ^ Hirschfeld, JWP (1979). Geometrías proyectivas sobre campos finitos . Prensa de la Universidad de Oxford . pag. 129. ISBN 978-0-19-850295-1.
- ^ Metod Saniga, Michel Planat, Maurice R. Kibler, Petr Pracna (2007) "Una clasificación de las líneas proyectivas sobre anillos pequeños", Caos, solitones y fractales 33 (4): 1095-1102, MR2318902
- ↑ a b Josef Grünwald (1906) "Über duale Zahlen und ihre Anwendung in der Geometrie", Monatshefte für Mathematik 17: 81-136
- ↑ a b Corrado Segre (1912) "Le geometrie proiettive nei campi di numeri duali", Documento XL de Opere , también Atti della R. Academia della Scienze di Torino , vol XLVII.
- ^ a b Isaak Yaglom (1979) Una geometría no euclidiana simple y su base física , Springer, ISBN 0387-90332-1 , MR520230
- ^ a b Walter Benz (1973) Vorlesungen über Geometrie der Algebren , §2.1 Projective Gerade über einem Ring, §2.1.2 Die projective Gruppe, §2.1.3 Transitivitätseigenschaften, §2.1.4 Doppelverhaltnisse, Springer ISBN 0-387-05786-2 MR353137
- ↑ Karl von Staudt (1856) Beträge zur Geometrie der Lage
- ^ Walter Benz , Hans-Joachim Samaga y Helmut Scheaffer (1981) "Relaciones cruzadas y un tratamiento unificador de la noción de Reeller Zug de von Staudt", pp 127-50 en Geometría - Punto de vista de von Staudt , editores de Peter Plaumann y Karl Strambach , Actas del Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN, Bad Windsheim, julio / agosto de 1980, D. Reidel , ISBN 90-277-1283-2 , SEÑOR0621313
- ^ Birkhoff y Maclane (1953) Estudio de álgebra moderna , págs. 293–8, o edición 1997 de AKP Classics, págs. 312–7
- ^ A Blunck & H Havlicek (2000) "Representaciones proyectivas: líneas proyectivas sobre anillos", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 70: 287–99, MR1809553 . Este artículo utiliza una definición alternativa de la línea proyectiva sobre un anillo que restringe elementos de la línea proyectiva sobre Z a las de la forma U [ m, n ), donde m y n son primos entre sí.
- ^ Funciones complejas de Gareth Jones y David Singerman (1987), págs.23, 4 Cambridge University Press
- ^ Joseph A. Thas ( 1968/9 ) "Relación cruzada de un punto ordenado cuádruple en la línea proyectiva sobre un álgebra asociativa con un elemento de unidad" (en holandés) Simon Stevin 42: 97-111 MR0266032
- ^ Jean Dieudonné (1954) "Les Isomorphisms exceptionnals entre les groups classiques finis", Canadian Journal of Mathematics 6: 305 a 15 doi : 10.4153 / CJM-1954-029-0
- ↑ Theodore Vahlen (1902) "Über Bewegungen und complexe Zahlen", Mathematische Annalen 55: 585–93
- ^ Arthur Conway (1911) "Sobre la aplicación de cuaterniones a algunos desarrollos recientes de la teoría eléctrica", Actas de la Royal Irish Academy 29: 1-9, en particular la página 9
- ^ PG Gormley (1947) "Proyección estereográfica y el grupo fraccional lineal de transformaciones de cuaterniones", Actas de la Real Academia Irlandesa , Sección A 51: 67-85
- Sky Brewer (2012) "Relación cruzada proyectiva en números hipercomplejos", Avances en álgebras de Clifford aplicadas , DOI 10.1007 / s00006-12-0335-7.
- IM Yaglom (1968) Números complejos en geometría .
Otras lecturas
- G. Ancochea (1941) "Le théorèm de von Staudt en géométrie projective quaternionienne", Journal für Mathematik , Band 184, Heft 4, SS. 193–8.
- NB Limaye (1972) "Relaciones cruzadas y proyectividades de una línea", Mathematische Zeitschrift 129: 49–53, MR0314823 .
- BV Limaye y NB Limaye (1977) "El teorema fundamental de la línea proyectiva sobre anillos conmutativos", Aequationes Mathematica 16: 275–81. SEÑOR0513873 .
- BV Limaye & NB Limaye (1977) "El teorema fundamental de la línea proyectiva sobre anillos locales no conmutativos", Archiv der Mathematik 28 (1): 102–9 MR0480495 .
- Marcel Wild (2006) "El teorema fundamental de la geometría proyectiva para un módulo de dos de longitud arbitraria", Rocky Mountain Journal of Mathematics 36 (6): 2075–80.
enlaces externos
- Mitod Saniga (2006) Líneas proyectivas sobre anillos finitos (pdf) del Instituto Astronómico de la Academia Eslovaca de Ciencias