El análisis de formas espectrales se basa en el espectro ( valores propios y / o funciones propias ) del operador de Laplace-Beltrami para comparar y analizar formas geométricas. Dado que el espectro del operador de Laplace-Beltrami es invariante bajo isometrías , es muy adecuado para el análisis o la recuperación de formas no rígidas, es decir, objetos flexibles como humanos, animales, plantas, etc.
Laplace
El operador de Laplace-Beltrami está involucrado en muchas ecuaciones diferenciales importantes, como la ecuación de calor y la ecuación de onda . Se puede definir en una variedad de Riemann como la divergencia del gradiente de una función de valor real f :
Sus componentes espectrales se pueden calcular resolviendo la ecuación de Helmholtz (o el problema de valores propios de Laplacia):
Las soluciones son las funciones propias (modos) y valores propios correspondientes , que representa una secuencia divergente de números reales positivos. El primer valor propio es cero para dominios cerrados o cuando se usa la condición de límite de Neumann . Para algunas formas, el espectro se puede calcular analíticamente (por ejemplo, rectángulo, toro plano, cilindro, disco o esfera). Para la esfera, por ejemplo, las funciones propias son los armónicos esféricos .
Las propiedades más importantes de los valores propios y las funciones propias son que son invariantes de isometría. En otras palabras, si la forma no se estira (por ejemplo, una hoja de papel doblada en la tercera dimensión), los valores espectrales no cambiarán. Los objetos flexibles, como los animales, las plantas y los seres humanos, pueden adoptar diferentes posturas corporales con un estiramiento mínimo de las articulaciones. Las formas resultantes se denominan casi isométricas y se pueden comparar mediante el análisis de formas espectrales.
Discretizaciones
Las formas geométricas a menudo se representan como superficies curvas 2D , mallas de superficie 2D (generalmente mallas triangulares ) u objetos sólidos 3D (por ejemplo, utilizando vóxeles o mallas tetraédricas ). La ecuación de Helmholtz se puede resolver para todos estos casos. Si existe un límite, por ejemplo, un cuadrado, o el volumen de cualquier forma geométrica 3D, es necesario especificar las condiciones del límite.
Existen varias discretizaciones del operador de Laplace (consulte Operador de Laplace discreto ) para los diferentes tipos de representaciones geométricas. Muchos de estos operadores no se aproximan bien al operador continuo subyacente.
Descriptores de formas espectrales
ShapeDNA y sus variantes
ShapeDNA es uno de los primeros descriptores de formas espectrales. Es la secuencia inicial normalizada de los valores propios del operador de Laplace-Beltrami. [1] [2] Sus principales ventajas son la representación simple (un vector de números) y la comparación, la invariancia de escala y, a pesar de su simplicidad, un muy buen rendimiento para la recuperación de formas no rígidas. [3] Los competidores de shapeDNA incluyen valores singulares de Matriz de distancia geodésica (SD-GDM) [4] y Matriz de distancia biharmónica reducida (R-BiHDM). [5] Sin embargo, los valores propios son descriptores globales, por lo tanto, el shapeDNA y otros descriptores espectrales globales no se pueden utilizar para el análisis de forma local o parcial.
Firma de punto global (GPS)
La firma de punto global [6] en un punto es un vector de funciones propias escaladas del operador de Laplace-Beltrami calculado en (es decir, la incrustación espectral de la forma). El GPS es una función global en el sentido de que no se puede utilizar para hacer coincidir formas parciales.
Firma del núcleo de calor (HKS)
La firma del núcleo de calor [7] hace uso de la descomposición propia del núcleo de calor :
Para cada punto de la superficie, la diagonal del núcleo de calor se muestrea en valores de tiempo específicos y produce una firma local que también se puede utilizar para la detección de simetría o coincidencia parcial.
Firma del núcleo de onda (WKS)
El WKS [8] sigue una idea similar al HKS, reemplazando la ecuación de calor con la ecuación de onda de Schrödinger.
Firma de kernel de onda mejorada (IWKS)
El IWKS [9] mejora el WKS para la recuperación de formas no rígidas al introducir una nueva función de escala a los valores propios y agregar un nuevo término de curvatura.
Firma de ondícula de gráfico espectral (SGWS)
SGWS es un descriptor local que no solo es invariante isométrico, sino que también es compacto, fácil de calcular y combina las ventajas de los filtros de paso de banda y de paso bajo. Una faceta importante de SGWS es la capacidad de combinar las ventajas de WKS y HKS en una sola firma, al tiempo que permite una representación de formas en múltiples resoluciones. [10]
Coincidencia espectral
La descomposición espectral del gráfico Laplaciano asociado con formas complejas (ver Operador discreto de Laplace ) proporciona funciones propias (modos) que son invariantes a las isometrías. Cada vértice de la forma podría representarse de forma única con una combinación de los valores eigenmodales en cada punto, a veces llamadas coordenadas espectrales:
La coincidencia espectral consiste en establecer las correspondencias de puntos emparejando vértices en diferentes formas que tienen las coordenadas espectrales más similares. Los primeros trabajos [11] [12] [13] se centraron en las correspondencias dispersas para la estereoscopía. La eficiencia computacional ahora permite correspondencias densas en mallas completas, por ejemplo, entre superficies corticales. [14] La coincidencia espectral también se podría utilizar para el registro de imágenes complejas no rígidas , que es notablemente difícil cuando las imágenes tienen deformaciones muy grandes. [15] Estos métodos de registro de imágenes basados en valores eigenmodales espectrales capturan características de forma global y contrastan con los métodos de registro de imágenes no rígidos convencionales que a menudo se basan en características de forma locales (por ejemplo, gradientes de imagen).
Referencias
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