Núcleo de calor

Solución fundamental de la ecuación del calor, dados los valores límite

En el estudio matemático de la conducción y difusión de calor , un núcleo de calor es la solución fundamental a la ecuación de calor en un dominio específico con condiciones de contorno apropiadas . También es una de las herramientas principales en el estudio del espectro del operador de Laplace y, por lo tanto, tiene cierta importancia auxiliar en toda la física matemática . El núcleo de calor representa la evolución de la temperatura en una región cuyo límite se mantiene fijo a una temperatura particular (normalmente cero), de modo que una unidad inicial de energía térmica se coloca en un punto en el tiempo.t  = 0.

Solución fundamental de la ecuación de calor unidimensional. Rojo: transcurso del tiempo de . Azul: cursos de tiempo de dos puntos seleccionados. Versión interactiva.${\displaystyle \Phi (x,t)}$${\displaystyle \Phi (x_{0},t)}$

El núcleo de calor más conocido es el núcleo de calor del espacio euclidiano d- dimensional R ^d , que tiene la forma de una función gaussiana variable en el tiempo ,

${\displaystyle K(t,x,y)={\frac {1}{(4\pi t)^{d/2}}}e^{-|x-y|^{2}/4t}\,}$

Esto resuelve la ecuación de calor

${\displaystyle {\frac {\partial K}{\partial t}}(t,x,y)=\Delta _{x}K(t,x,y)\,}$

para todo t  > 0 y x , y  ∈  R ^d , donde Δ es el operador laplaciano, con la condición inicial

${\displaystyle \lim _{t\to 0}K(t,x,y)=\delta (x-y)=\delta _{x}(y)}$

donde δ es una distribución delta de Dirac y el límite se toma en el sentido de distribuciones . Es decir, para cada función fluida φ del soporte compacto ,

${\displaystyle \lim _{t\to 0}\int _{\mathbf {R} ^{d}}K(t,x,y)\phi (y)\,dy=\phi (x).}$

En un dominio más general Ω en R ^d , una fórmula tan explícita generalmente no es posible. Los siguientes casos más simples de un disco o cuadrado involucran, respectivamente, funciones de Bessel y funciones theta de Jacobi . Sin embargo, el núcleo de calor (para, digamos, el problema de Dirichlet ) todavía existe y es suave para t > 0 en dominios arbitrarios y de hecho en cualquier variedad de Riemann con límite , siempre que el límite sea suficientemente regular. Más precisamente, en estos dominios más generales, el núcleo de calor para el problema de Dirichlet es la solución del problema del valor límite inicial

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial K}{\partial t}}(t,x,y)=\Delta K(t,x,y){\text{ for all }}t>0{\text{ and }}x,y\in \Omega \\[6pt]&\lim _{t\to 0}K(t,x,y)=\delta _{x}(y){\text{ for all }}x,y\in \Omega \\[6pt]&K(t,x,y)=0,\quad x\in \partial \Omega {\text{ or }}y\in \partial \Omega .\end{aligned}}}$

No es difícil derivar una expresión formal para el núcleo de calor en un dominio arbitrario. Considere el problema de Dirichlet en un dominio conectado (o variedad con frontera) U . Sean λ _n los valores propios para el problema de Dirichlet del Laplaciano

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}\Delta \phi +\lambda \phi =0&{\text{in }}U\\\phi =0&{\text{on }}\ \partial U.\end{array}}\right.}$

Sea φ _n las funciones propias asociadas , normalizadas para ser ortonormales en L ² ( U ) . El inverso Dirichlet Laplaciano Δ ⁻¹ es un operador compacto y autoadjunto , por lo que el teorema espectral implica que los valores propios satisfacen

${\displaystyle 0<\lambda _{1}<\lambda _{2}\leq \lambda _{3}\leq \cdots ,\quad \lambda _{n}\to \infty .}$

El núcleo de calor tiene la siguiente expresión:

${\displaystyle K(t,x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-\lambda _{n}t}\phi _{n}(x)\phi _{n}(y).}$

( 1 )

Diferenciar formalmente la serie bajo el signo de la suma muestra que esto debería satisfacer la ecuación de calor. Sin embargo, la convergencia y regularidad de las series son bastante delicadas.

El núcleo de calor también se identifica a veces con la transformada integral asociada , definida para φ suave con soporte compacto mediante

${\displaystyle T\phi =\int _{\Omega }K(t,x,y)\phi (y)\,dy.}$

El teorema de mapeo espectral da una representación de T en la forma

${\displaystyle T=e^{t\Delta }.}$

Hay varios resultados geométricos sobre granos de calor en colectores; digamos, asintóticas de corta duración, asintóticas de larga duración y límites superior / inferior de tipo gaussiano.

Ver también

• Firma del núcleo de calor
• Función zeta de Minakshisundaram – Pleijel
• Núcleo de Mehler
• Transformada de Weierstrass # Generalizaciones

Referencias

• Berline, Nicole; Getzler, E .; Vergne, Michèle (2004), Heat Kernels and Dirac Operators , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag
• Chavel, Isaac (1984), Autovalores en geometría riemanniana , Matemáticas puras y aplicadas, 115 , Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-170640-1, MR  0768584.
• Evans, Lawrence C. (1998), ecuaciones diferenciales parciales , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0772-9
• Gilkey, Peter B. (1994), Teoría de la invariancia, la ecuación del calor y el teorema de Atiyah-Singer , ISBN 978-0-8493-7874-4
• Grigor'yan, Alexander (2009), núcleo de calor y análisis de variedades , AMS / IP Studies in Advanced Mathematics, 47 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4935-4, MR  2569498