En el análisis funcional , los operadores compactos son operadores lineales en espacios de Banach que asignan conjuntos delimitados a conjuntos relativamente compactos . En el caso de un espacio H de Hilbert , los operadores compactos son el cierre de los operadores de rango finito en la topología de operador uniforme. En general, los operadores en espacios de dimensión infinita presentan propiedades que no aparecen en el caso de dimensión finita, es decir, para matrices. Los operadores compactos son notables porque comparten tanta similitud con las matrices como se puede esperar de un operador general. En particular, las propiedades espectrales de los operadores compactos se asemejan a las de las matrices cuadradas.
Este artículo resume primero los resultados correspondientes del caso de la matriz antes de discutir las propiedades espectrales de los operadores compactos. El lector verá que la mayoría de las declaraciones se transfieren literalmente del caso de la matriz.
La teoría espectral de los operadores compactos fue desarrollada por primera vez por F. Riesz .
Teoría espectral de matrices
El resultado clásico para matrices cuadradas es la forma canónica de Jordan, que establece lo siguiente:
Teorema. Sea A una matriz compleja n × n , es decir, A un operador lineal que actúa sobre C n . Si λ 1 ... λ k son los valores propios distintos de A , entonces C n se puede descomponer en los subespacios invariantes de A
El subespacio Y i = Ker ( λ i - A ) m donde Ker ( λ i - A ) m = Ker ( λ i - A ) m +1 . Además, los polos de la función resolvente ζ → ( ζ - A ) -1 coinciden con el conjunto de valores propios de A .
Operadores compactos
Declaración
Teorema - Let X sea un espacio de Banach, C un operador compacto que actúa sobre X , y σ ( C ) ser el espectro de C .
- Cada distinto de cero lambda ∈ sigma ( C ) es un valor propio de C .
- Para todo λ ∈ σ ( C ) distinto de cero , existe m tal que Ker (( λ - C ) m ) = Ker (( λ - C ) m +1 ), y este subespacio es de dimensión finita.
- Los valores propios solo pueden acumularse en 0. Si la dimensión de X no es finita, entonces σ ( C ) debe contener 0.
- σ ( C ) es, a lo sumo, infinito numerable.
- Todo λ ∈ σ ( C ) distinto de cero es un polo de la función resolutiva ζ → ( ζ - C ) −1 .
Prueba
- Lemas preliminares
El teorema afirma varias propiedades del operador λ - C donde λ ≠ 0. Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que λ = 1. Por lo tanto, consideramos I - C , siendo I el operador de identidad. La demostración requerirá dos lemas.
Lema 1 ( lema de Riesz ) - Sea X un espacio de Banach e Y ⊂ X , Y ≠ X , un subespacio cerrado. Para todo ε > 0, existe x ∈ X tal queX = 1 y
donde d ( x , Y ) es la distancia desde x a Y .
Este hecho se utilizará repetidamente en el argumento que conduce al teorema. Observe que cuando X es un espacio de Hilbert, el lema es trivial.
Lema 2 : si C es compacto, entonces Ran ( I - C ) está cerrado.
Sea ( I - C ) x n → y en norma. Si { x n } está acotado, entonces la compacidad de C implica que existe una subsecuencia x nk tal que C x nk es la norma convergente. Entonces x nk = ( I - C ) x nk + C x nk es la norma convergente, a alguna x . Esto da ( I - C ) x nk → ( I - C ) x = y . El mismo argumento se aplica si las distancias d ( x n , Ker ( I - C )) están acotadas.
Pero d ( x n , Ker ( I - C )) debe estar acotado. Supongamos que este no es el caso. Pase ahora al mapa de cocientes de ( I - C ), todavía denotado por ( I - C ), en X / Ker ( I - C ). La norma del cociente en X / Ker ( I - C ) todavía se denota por·, y { x n } ahora se ven como representantes de sus clases de equivalencia en el espacio del cociente. Tome una subsecuencia { x nk } tal quex n> ky defina una secuencia de vectores unitarios por z nk = x nk /x nk. Nuevamente tendríamos ( I - C ) z nk → ( I - C ) z para algún z . Desde( I - C ) z nk = ( I - C ) x nk/ x nk→ 0, tenemos ( I - C ) z = 0 es decir, z ∈ Ker ( I - C ). Como pasamos al mapa de cocientes, z = 0. Esto es imposible porque z es el límite normal de una secuencia de vectores unitarios. Así queda probado el lema.
- Conclusión de la prueba
i ) Sin pérdida de generalidad, suponga λ = 1. λ ∈ σ ( C ) no es un valor propio significa que ( I - C ) es inyectivo pero no sobreyectivo. Por el Lema 2, Y 1 = Ran ( I - C ) es un subespacio adecuado cerrado de X . Dado que ( I - C ) es inyectivo, Y 2 = ( I - C ) Y 1 es nuevamente un subespacio propio cerrado de Y 1 . Defina Y n = Ran ( I - C ) n . Considere la secuencia decreciente de subespacios
donde todas las inclusiones son adecuadas. Por el lema 1, podemos elegir vectores unitarios y n ∈ Y n tales que d ( y n , Y n +1 )> ½. La compacidad de C significa que { C y n } debe contener una subsecuencia convergente normal. Pero para n < m
y nota que
lo que implica Cy n - Cy m> ½. Esto es una contradicción, por lo que λ debe ser un valor propio.
ii ) La secuencia { Y n = Ker ( λ i - A ) n } es una secuencia creciente de subespacios cerrados. El teorema afirma que se detiene. Supongamos que no se detiene, es decir, la inclusión Ker ( λ i - A ) n ⊂ Ker ( λ i - A ) n +1 es propia para todo n . Por el lema 1, existe una secuencia { y n } n ≥ 2 de vectores unitarios tal que y n ∈ Y n y d ( y n , Y n - 1 )> ½. Como antes, la compacidad de C significa que { C y n } debe contener una subsecuencia convergente normal. Pero para n < m
y nota que
lo que implica Cy n - Cy m> ½. Esto es una contradicción, por lo que la secuencia { Y n = Ker ( λ i - A ) n } debe terminar en algún m finito .
Usando la definición de Kernel, podemos demostrar que la esfera unitaria de Ker ( λ i - C ) es compacta, de modo que Ker ( λ i - C ) es de dimensión finita. Ker ( λ i - C ) n es de dimensión finita por la misma razón.
iii ) Suponga que existen infinitos (al menos contables) autovalores distintos { λ n }, con autovectores correspondientes { x n }, tales queλ n> ε para todos los n . Defina Y n = span { x 1 ... x n }. La secuencia { Y n } es una secuencia estrictamente creciente. Elija vectores unitarios tales que y n ∈ Y n y d ( y n , Y n - 1 )> ½. Entonces para n < m
Pero
por lo tanto Cy n - Cy m> ε / 2, una contradicción.
Entonces tenemos que solo hay valores propios finitos distintos fuera de cualquier bola centrada en cero. Esto nos da inmediatamente que cero es el único punto límite posible de los valores propios y que hay como mucho valores propios distintos contables (véase iv).
iv ) Esta es una consecuencia inmediata de iii). El conjunto de valores propios { λ } es la unión
Debido a que σ ( C ) es un conjunto acotado y los valores propios solo pueden acumularse en 0, cada S n es finito, lo que da el resultado deseado.
v ) Como en el caso de la matriz, esta es una aplicación directa del cálculo funcional holomórfico .
Subespacios invariantes
Como en el caso de la matriz, las propiedades espectrales anteriores conducen a una descomposición de X en subespacios invariables de un operador compacto C . Sea λ ≠ 0 un valor propio de C ; entonces λ es un punto aislado de σ ( C ). Usando el cálculo funcional holomórfico, defina la proyección de Riesz E ( λ ) por
donde γ es un contorno de Jordan que encierra solo λ de σ ( C ). Let Y el subespacio Y = E ( λ ) X . C restringido a Y es un operador compacto invertible con espectro { λ }, por lo tanto, Y es de dimensión finita. Sea ν tal que Ker ( λ - C ) ν = Ker ( λ - C ) ν + 1 . Al inspeccionar la forma de Jordan, vemos que ( λ - C ) ν = 0 mientras que ( λ - C ) ν - 1 ≠ 0. La serie de Laurent del mapeo resolvent centrado en λ muestra que
Entonces Y = Ker ( λ - C ) ν .
Los E ( λ ) satisfacen E ( λ ) 2 = E ( λ ), por lo que efectivamente son operadores de proyección o proyecciones espectrales . Por definición que conmutan C . Además E ( λ ) E ( μ ) = 0 si λ ≠ μ.
- Sea X ( λ ) = E ( λ ) X si λ es un valor propio distinto de cero. Por tanto, X ( λ ) es un subespacio invariante de dimensión finita, el autoespacio generalizado de λ.
- Sea X (0) la intersección de los núcleos de E ( λ ). Por tanto, X (0) es un invariante de subespacio cerrado bajo C y la restricción de C a X (0) es un operador compacto con espectro {0}.
Operadores con potencia compacta
Si B es un operador en un espacio de Banach X tal que B n es compacto para algunos n , entonces el teorema demostrado anteriormente también se mantiene para B .
Ver también
Referencias
- John B. Conway, Un curso de análisis funcional, Textos de posgrado en matemáticas 96 , Springer 1990. ISBN 0-387-97245-5