El lema de Riesz (después de Frigyes Riesz ) es un lema en el análisis funcional . Especifica condiciones (a menudo fáciles de verificar) que garantizan que un subespacio en un espacio vectorial normalizado sea denso . El lema también se puede llamar lema de Riesz o desigualdad de Riesz . Puede verse como un sustituto de la ortogonalidad cuando uno no está en un espacio de producto interno.
El resultado
Lema de Riesz. Sea X un espacio normado, Y un subespacio propio cerrado de X y α un número real con 0 <α <1. Entonces existe una x en X con | x | = 1 tal que | x - y | ≥ α para todos y en Y . [1]
Observación 1. Para el caso de dimensión finita, se puede lograr la igualdad. En otras palabras, existe x de norma unitaria tal que d ( x , Y ) = 1. Cuando la dimensión de X es finita, la bola unitaria B ⊂ X es compacta. Además, la función de distancia d (·, Y ) es continua. Por lo tanto, su imagen en la bola unitaria B debe ser un subconjunto compacto de la línea real, lo que demuestra la afirmación.
Observación 2. El espacio ℓ ∞ de todas las secuencias acotadas muestra que el lema no se cumple para α = 1.
La prueba se puede encontrar en textos de análisis funcional como Kreyszig. Está disponible una prueba en línea del Prof. Paul Garrett .
Algunas consecuencias
Las propiedades espectrales de los operadores compactos que actúan en un espacio de Banach son similares a las de las matrices. El lema de Riesz es fundamental para establecer este hecho.
El lema de Riesz garantiza que cualquier espacio normado de dimensión infinita contiene una secuencia de vectores unitarios { x n } conpara 0 < α <1. Esto es útil para mostrar la inexistencia de ciertas medidas en espacios de Banach de dimensión infinita . El lema de Riesz también muestra que el operador de identidad en un espacio de Banach X es compacto si y solo si X es de dimensión finita. [2]
También se puede usar este lema para caracterizar espacios normativos de dimensión finita: si X es un espacio vectorial normado, entonces X es de dimensión finita si y solo si la bola unitaria cerrada en X es compacta.
Caracterización de dimensión finita
El lema de Riesz se puede aplicar directamente para mostrar que la bola unitaria de un espacio normado de dimensión infinita X nunca es compacta : tome un elemento x 1 de la esfera unitaria. Elija x n de la esfera unitaria de modo que
- para una constante 0 < α <1, donde Y n −1 es el intervalo lineal de { x 1 ... x n −1 } y .
Claramente, { x n } no contiene ninguna subsecuencia convergente y sigue la falta de compacidad de la bola unitaria.
De manera más general, si un espacio vectorial topológico X es localmente compacto , entonces es de dimensión finita. Lo contrario de esto también es cierto. Es decir, si un espacio vectorial topológico es de dimensión finita, es localmente compacto. [3] Por lo tanto, la compacidad local caracteriza la dimensionalidad finita. Este resultado clásico también se atribuye a Riesz. Una prueba corta puede esbozarse como sigue: Sea C sea un entorno compacto de 0 ∈ X . Por compacidad, hay c 1 , ..., c n ∈ C tales que
Reivindicamos que el subespacio de dimensión finita Y atravesado por { c i } es denso en X , o equivalentemente, su cierre es X . Desde X es la unión de múltiplos escalares de C , es suficiente para demostrar que C ⊂ Y . Ahora, por inducción,
por cada m . Pero conjuntos compactos están delimitadas , por lo que C se encuentra en el cierre de Y . Esto prueba el resultado. Para una demostración diferente basada en el teorema de Hahn-Banach, ver. [4]
Ver también
Referencias
- ↑ Rynne, Bryan P .; Youngson, Martin A. (2008). Análisis funcional lineal (2ª ed.). Londres: Springer. pag. 47. ISBN 978-1848000049.
- ↑ Kreyszig (1978 , Teorema 2.5-3, 2.5-5)
- ^ https://terrytao.wordpress.com/2011/05/24/locally-compact-topological-vector-spaces/
- ^ https://www.emis.de/journals/PM/51f2/pm51f205.pdf/
- Kreyszig, Erwin (1978), Análisis funcional introductorio con aplicaciones , John Wiley & Sons, ISBN 0-471-50731-8