En matemáticas , un subespacio relativamente compacto (o un subconjunto relativamente compacto , o un subconjunto precompacto ) Y de un espacio topológico X es un subconjunto cuyo cierre es compacto .
Cada subconjunto de un espacio topológico compacto es relativamente compacto (ya que un subconjunto cerrado de un espacio compacto es compacto). Y en un espacio topológico arbitrario, cada subconjunto de un conjunto relativamente compacto es relativamente compacto.
Cada subconjunto compacto de un espacio de Hausdorff es relativamente compacto. En un espacio que no es de Hausdorff, como la topología de puntos particular en un conjunto infinito, el cierre de un subconjunto compacto no es necesariamente compacto; Dicho de otra manera, un subconjunto compacto de un espacio que no es de Hausdorff no es necesariamente relativamente compacto.
Cada subconjunto compacto de un espacio vectorial topológico (posiblemente no de Hausdorff) es completo y relativamente compacto.
En el caso de una topología métrica , o más generalmente cuando se pueden usar secuencias para probar la compacidad, el criterio de compacidad relativa se convierte en que cualquier secuencia en Y tiene una subsecuencia convergente en X.
Algunos teoremas importantes caracterizan subconjuntos relativamente compactos, en particular en los espacios funcionales . Un ejemplo es el teorema de Arzelà-Ascoli . Otros casos de interés se relacionan con la integrabilidad uniforme y el concepto de familia normal en el análisis complejo . El teorema de la compacidad de Mahler en la geometría de los números caracteriza subconjuntos relativamente compactos en ciertos espacios homogéneos no compactos (específicamente espacios de celosías ).