La geometría de la esfera de mentira es una teoría geométrica de geometría plana o espacial en la que el concepto fundamental es el círculo o esfera . Fue introducido por Sophus Lie en el siglo XIX. [1] La idea principal que lleva a la geometría de la esfera de Lie es que las líneas (o planos) deben considerarse como círculos (o esferas) de radio infinito y que los puntos en el plano (o espacio) deben considerarse como círculos (o esferas). de radio cero.
El espacio de círculos en el plano (o esferas en el espacio), incluidos los puntos y las líneas (o planos) resulta ser una variedad conocida como la cuádrica de Lie (una hipersuperficie cuádrica en el espacio proyectivo ). La geometría de la esfera de Lie es la geometría de la cuadrática de Lie y las transformaciones de Lie que la conservan. Esta geometría puede ser difícil de visualizar porque las transformaciones de Lie no conservan los puntos en general: los puntos se pueden transformar en círculos (o esferas).
Para manejar esto, las curvas en el plano y las superficies en el espacio se estudian utilizando sus elevaciones de contacto , que están determinadas por sus espacios tangentes . Esto proporciona una realización natural del círculo osculante a una curva y las esferas de curvatura de una superficie. También permite un tratamiento natural de los ciclidos de Dupin y una solución conceptual del problema de Apolonio .
La geometría de la esfera de mentira se puede definir en cualquier dimensión, pero el caso del plano y el espacio tridimensional son los más importantes. En el último caso, Lie notó una notable similitud entre el Lie quadric de esferas en 3 dimensiones, y el espacio de líneas en el espacio proyectivo tridimensional, que también es una hipersuperficie cuádruple en un espacio proyectivo de 5 dimensiones, llamado Plücker. o cuádruple de Klein . Esta similitud llevó a Lie a su famosa "correspondencia línea-esfera" entre el espacio de líneas y el espacio de esferas en un espacio tridimensional. [2]
Conceptos básicos
La observación clave que lleva a la geometría de la esfera de Lie es que los teoremas de la geometría euclidiana en el plano (resp. En el espacio) que solo dependen de los conceptos de círculos (resp. Esferas) y su contacto tangencial tienen una formulación más natural en una forma más general. contexto en el que círculos, líneas y puntos (respectivamente esferas, planos y puntos) se tratan en pie de igualdad. Esto se logra en tres pasos. Primero, se agrega un punto ideal en el infinito al espacio euclidiano para que las líneas (o planos) puedan considerarse como círculos (o esferas) que pasan por el punto en el infinito (es decir, que tienen un radio infinito ). Esta extensión se conoce como geometría inversa con automorfismos conocidos como "transformaciones de Mobius". En segundo lugar, los puntos se consideran círculos (o esferas) de radio cero. Finalmente, por razones técnicas, los círculos (o esferas), incluidas las líneas (o planos) reciben orientaciones .
Estos objetos, es decir, los puntos, círculos orientados y líneas orientadas en el plano, o los puntos, esferas orientadas y planos orientados en el espacio, a veces se denominan ciclos o ciclos de Lie. Resulta que forman una hipersuperficie cuadrática en un espacio proyectivo de dimensión 4 o 5, que se conoce como cuadrática de Lie. Las simetrías naturales de esta cuadrática forman un grupo de transformaciones conocidas como transformaciones de Lie. Estas transformaciones no conservan puntos en general: son transformaciones de la cuadrática de Lie, no del plano / esfera más el punto en el infinito. Las transformaciones que preservan el punto son precisamente las transformaciones de Möbius. Las transformaciones de Lie que fijan la base ideal en el infinito son los de Laguerre transformaciones de geometría Laguerre . Estos dos subgrupos generan el grupo de transformaciones de Lie, y su intersección son las transformadas de Möbius que fijan el punto ideal en el infinito, es decir, los mapas conformes afines.
Estos grupos también tienen una interpretación física directa: como señaló Harry Bateman , las transformaciones de las esferas de Lie son idénticas a las transformaciones de ondas esféricas que dejan invariante la forma de las ecuaciones de Maxwell . Además, Élie Cartan , Henri Poincaré y Wilhelm Blaschke señalaron que el grupo de Laguerre es simplemente isomorfo al grupo de Lorentz de la relatividad especial (ver grupo de Laguerre isomorfo al grupo de Lorentz ). Eventualmente, también hay un isomorfismo entre el grupo de Möbius y el grupo de Lorentz (ver el grupo de Möbius # transformación de Lorentz ).
Mentira la geometría de la esfera en el plano.
La mentira cuadrática
La cuadrática de Lie del plano se define de la siguiente manera. Sea R 3,2 el espacio R 5 de 5 tuplas de números reales, equipados con la forma bilineal simétrica de la firma (3,2) definida por
El espacio proyectivo R P 4 es el espacio de líneas que pasan por el origen en R 5 y es el espacio de vectores distintos de cero x en R 5 hasta la escala, donde x = ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ). La Q cuadrática de Lie planar consiste en los puntos [ x ] en el espacio proyectivo representados por los vectores x con x · x = 0.
Para relacionar esto con la geometría plana es necesario fijar una línea temporal orientada . Las coordenadas elegidas sugieren usar el punto [1,0,0,0,0] ∈ R P 4 . Cualquier punto en el Q cuadrático de Lie se puede representar mediante un vector x = λ (1,0,0,0,0) + v , donde v es ortogonal a (1,0,0,0,0). Dado que [ x ] ∈ Q , v · v = λ 2 ≥ 0.
El espacio ortogonal a (1, 0, 0, 0), intersecado con el cuadriculado de Lie, es la esfera celeste bidimensional S en el espacio-tiempo de Minkowski . Este es el plano euclidiano con un punto ideal en el infinito, que tomamos como [0,0,0,0,1]: los puntos finitos ( x , y ) en el plano son entonces representados por los puntos [ v ] = [0, x , y , -1, ( x 2 + y 2 ) / 2]; tenga en cuenta que v · v = 0, v · (1,0,0,0,0) = 0 y v · (0,0,0,0,1) = −1.
Por lo tanto, los puntos x = λ (1,0,0,0,0) + v en la cuadrática de Lie con λ = 0 corresponden a puntos en el plano euclidiano con un punto ideal en el infinito. Por otro lado, los puntos x con λ distinto de cero corresponden a círculos orientados (o líneas orientadas, que son círculos hasta el infinito) en el plano euclidiano. Esto es más fácil de ver en términos de la esfera celeste S : el círculo correspondiente a [ λ (1,0,0,0,0) + v ] ∈ Q (con λ ≠ 0) es el conjunto de puntos y ∈ S con y · v = 0. El círculo está orientado porque v / λ tiene un signo definido; [- λ (1,0,0,0,0) + v ] representa el mismo círculo con la orientación opuesta. Por lo tanto, el mapa de reflexión isométrica x → x + 2 ( x · (1,0,0,0,0)) (1,0,0,0,0) induce una involución ρ del cuádrico de Lie que invierte la orientación de los círculos y líneas, y fija los puntos del plano (incluido el infinito).
Para resumir: existe una correspondencia uno a uno entre los puntos en el cuádrice de Lie y los ciclos en el plano, donde un ciclo es un círculo orientado (o línea recta) o un punto en el plano (o el punto en el infinito) ; los puntos se pueden considerar como círculos de radio cero, pero no están orientados.
Incidencia de ciclos
Supongamos que dos ciclos están representados por puntos [ x ], [ y ] ∈ Q . Entonces x · y = 0 si y solo si los ciclos correspondientes se "besan", es decir, se encuentran con un contacto orientado de primer orden . Si [ x ] ∈ S ≅ R 2 ∪ {∞}, entonces esto solo significa que [ x ] se encuentra en el círculo correspondiente a [ y ]; este caso es inmediato a partir de la definición de este círculo (si [ y ] corresponde a un círculo de puntos, entonces x · y = 0 si y solo si [ x ] = [ y ]).
Por lo tanto, sigue siendo considerar el caso de que ni [ x ] ni [ y ] están en S . Sin pérdida de generalidad, podemos tomar x = (1,0,0,0,0) + v e y = (1,0,0,0,0) + w , donde v y w son vectores unitarios espaciales en (1,0,0,0,0) ⊥ . Por lo tanto v ⊥ ∩ (1,0,0,0,0) ⊥ y w ⊥ ∩ (1,0,0,0,0) ⊥ son de firma (2,1) subespacios de (1,0,0,0, 0) ⊥ . Por lo tanto, coinciden o se cruzan en un subespacio bidimensional. En el último caso, el subespacio bidimensional puede tener la firma (2,0), (1,0), (1,1), en cuyo caso los dos círculos correspondientes en S se intersecan en cero, uno o dos puntos, respectivamente. . Por lo tanto, tienen contacto de primer orden si y solo si el subespacio bidimensional es degenerado (firma (1,0)), lo que se mantiene si y solo si el intervalo de v y w es degenerado. Por la identidad de Lagrange , esto es válido si y solo si ( v · w ) 2 = ( v · v ) ( w · w ) = 1, es decir, si y solo si v · w = ± 1, es decir, x · y = 1 ± 1. El contacto está orientado si y solo si v · w = - 1, es decir, x · y = 0.
El problema de Apolonio
La incidencia de ciclos en la geometría de la esfera de Lie proporciona una solución simple al problema de Apolonio . [3] Este problema se refiere a una configuración de tres círculos distintos (que pueden ser puntos o líneas): el objetivo es encontrar todos los demás círculos (incluidos puntos o líneas) que sean tangentes a los tres círculos originales. Para una configuración genérica de círculos, hay como máximo ocho de estos círculos tangentes.
La solución, utilizando la geometría de la esfera de Lie, procede de la siguiente manera. Elija una orientación para cada uno de los tres círculos (hay ocho formas de hacer esto, pero solo hay cuatro para invertir la orientación de los tres). Esto define tres puntos [ x ], [ y ], [ z ] en la Q cuadrática de Lie . Por la incidencia de ciclos, una solución al problema apolíneo compatible con las orientaciones elegidas viene dada por un punto [ q ] ∈ Q tal que q es ortogonal ax , y y z . Si estos tres vectores son linealmente dependientes , entonces los puntos correspondientes [ x ], [ y ], [ z ] se encuentran en una línea en el espacio proyectivo. Dado que una ecuación cuadrática no trivial tiene como máximo dos soluciones, esta línea en realidad se encuentra en la cuadrática de Lie, y cualquier punto [ q ] en esta línea define un ciclo incidente con [ x ], [ y ] y [ z ]. Por tanto, hay infinitas soluciones en este caso.
Si, en cambio , x , y y z son linealmente independientes, entonces el subespacio V ortogonal a los tres es bidimensional. Puede tener la firma (2,0), (1,0) o (1,1), en cuyo caso hay cero, una o dos soluciones para [ q ] respectivamente. (La firma no puede ser (0,1) o (0,2) porque es ortogonal a un espacio que contiene más de una línea nula.) En el caso de que el subespacio tenga la firma (1,0), la única solución q se encuentra en el lapso de x , y y z .
La solución general al problema apolíneo se obtiene invirtiendo las orientaciones de algunos de los círculos, o de manera equivalente, considerando los triples ( x , ρ ( y ), z ), ( x , y , ρ ( z )) y ( x , ρ ( y ), ρ ( z )).
Tenga en cuenta que el triple ( ρ ( x ), ρ ( y ), ρ ( z )) produce las mismas soluciones que ( x , y , z ), pero con una inversión general de orientación. Por lo tanto, hay como máximo 8 círculos de solución para el problema apolíneo, a menos que los tres círculos se encuentren tangencialmente en un solo punto, cuando hay infinitas soluciones.
Transformaciones de mentiras
Cualquier elemento del grupo O (3,2) de transformaciones ortogonales de R 3,2 mapea cualquier subespacio unidimensional de vectores nulos en R 3,2 a otro subespacio de este tipo. Por tanto, el grupo O (3,2) actúa sobre la cuadrática de Lie. Estas transformaciones de ciclos se denominan "transformaciones de mentira". Conservan la relación de incidencia entre ciclos. La acción es transitiva y, por lo tanto, todos los ciclos son equivalentes a Lie. En particular, los puntos no se conservan mediante transformaciones de Lie generales. El subgrupo de transformaciones de Lie que preservan los ciclos de puntos es esencialmente el subgrupo de transformaciones ortogonales que preservan la dirección temporal elegida. Este subgrupo es isomorfo al grupo O (3,1) de las transformaciones de la esfera de Möbius . También se puede caracterizar como el centralizador de la involución ρ , que es en sí misma una transformación de Lie.
Las transformaciones de mentiras a menudo se pueden usar para simplificar un problema geométrico, transformando círculos en líneas o puntos.
Elementos de contacto y elevadores de contacto
El hecho de que las transformaciones de Lie no conserven puntos en general también puede ser un obstáculo para comprender la geometría de la esfera de Lie. En particular, la noción de curva no es invariante de Lie. Esta dificultad puede mitigarse observando que existe una noción invariante de Lie de elemento de contacto .
Un elemento de contacto orientado en el plano es un par que consta de un punto y una línea orientada (es decir, dirigida) a través de ese punto. El punto y la línea son ciclos de incidentes. La observación clave es que el conjunto de todos los ciclos incidentes tanto con el punto como con la línea es un objeto invariante de Lie: además del punto y la línea, consta de todos los círculos que hacen contacto orientado con la línea en el punto dado. . Se llama lápiz de ciclos de Lie , o simplemente elemento de contacto .
Tenga en cuenta que los ciclos también son incidentes entre sí. En términos de la cuadrática de Lie, esto significa que un lápiz de ciclos es una línea (proyectiva) que se encuentra enteramente en la cuadrática de Lie, es decir, es la proyectivización de un subespacio bidimensional totalmente nulo de R 3,2 : los vectores representativos de los ciclos en el lápiz son todos ortogonales entre sí.
El conjunto de todas las líneas de la cuadricula de Lie es una variedad tridimensional llamada espacio de elementos de contacto Z 3 . Las transformaciones de Lie conservan los elementos de contacto y actúan transitivamente sobre Z 3 . Para una elección dada de ciclos de puntos (los puntos ortogonales a un vector v temporal elegido ), cada elemento de contacto contiene un punto único. Esto define un mapa de Z 3 a las 2 esferas S 2 cuyas fibras son círculos. Este mapa no es invariante de Lie, ya que los puntos no son invariantes de Lie.
Sea γ : [ a , b ] → R 2 una curva orientada. Entonces γ determina un mapa λ desde el intervalo [ a , b ] a Z 3 enviando t al elemento de contacto correspondiente al punto γ ( t ) y la línea orientada tangente a la curva en ese punto (la línea en la dirección γ '( t )). Este mapa λ se denomina elevación de contacto de γ .
De hecho, Z 3 es una variedad de contactos y la estructura de contacto es invariante de Lie. De ello se deduce que las curvas orientadas pueden estudiarse de forma invariante de Lie a través de sus elevaciones de contacto, que pueden caracterizarse, genéricamente, como curvas Legendrian en Z 3 . Más precisamente, el espacio tangente a Z 3 en el punto correspondiente a un subespacio bidimensional nulo π de R 3,2 es el subespacio de esos mapas lineales (A mod π ): π → R 3,2 / π con
- A ( x ) · y + x · A ( y ) = 0
y la distribución de contacto es el subespacio Hom ( π , π ⊥ / π ) de este espacio tangente en el espacio Hom ( π , R 3,2 / π ) de mapas lineales.
Se deduce que una curva de Legendrian inmersa λ en Z 3 tiene un ciclo de Lie preferido asociado a cada punto de la curva: la derivada de la inmersión en t es un subespacio unidimensional de Hom ( π , π ⊥ / π ) donde π = λ ( t ); el núcleo de cualquier elemento distinto de cero de este subespacio es un subespacio unidimensional bien definido de π , es decir, un punto en la cuadrática de Lie.
En términos más familiares, si λ es la elevación de contacto de una curva γ en el plano, entonces el ciclo preferido en cada punto es el círculo osculador . En otras palabras, después de tomar elevaciones de contacto, gran parte de la teoría básica de las curvas en el plano es invariante de Lie.
Mentira la geometría de la esfera en el espacio y dimensiones superiores.
Teoría general
La geometría de la esfera de Lie en n dimensiones se obtiene reemplazando R 3,2 (correspondiente a la cuadrática de Lie en n = 2 dimensiones) por R n + 1, 2 . Este es R n + 3 equipado con la forma bilineal simétrica
El quadric Q n de Lie se define de nuevo como el conjunto de [ x ] ∈ R P n +2 = P ( R n +1,2 ) con x · x = 0. El cuadriculado parametriza esferas orientadas ( n - 1) en espacio n -dimensional, incluidos hiperplanos y esferas puntuales como casos límite. Tenga en cuenta que Q n es una variedad (n + 1) -dimensional (las esferas están parametrizadas por su centro y radio).
La relación de incidencia se mantiene sin cambios: las esferas correspondientes a los puntos [ x ], [ y ] ∈ Q n tienen contacto de primer orden orientado si y solo si x · y = 0. El grupo de transformaciones de Lie ahora es O (n + 1 , 2) y las transformaciones de Lie conservan la incidencia de los ciclos de Lie.
El espacio de los elementos de contacto es una variedad de contacto (2 n - 1) dimensional Z 2 n - 1 : en términos de la elección dada de esferas puntuales, estos elementos de contacto corresponden a pares que consisten en un punto en el espacio n -dimensional (que puede ser el punto en el infinito) junto con un hiperplano orientado que pasa por ese punto. El espacio Z 2 n - 1 es, por tanto, isomorfo al haz cotangente proyectivizado de la n -esfera. Esta identificación no es invariante bajo las transformaciones de Lie: en términos invariantes de Lie, Z 2 n - 1 es el espacio de líneas (proyectivas) en la cuadrática de Lie.
Cualquier hipersuperficie orientada sumergida en un espacio n -dimensional tiene una elevación de contacto a Z 2 n - 1 determinada por sus espacios tangentes orientados . Ya no hay un ciclo de Lie preferido asociado a cada punto: en cambio, hay n - 1 tales ciclos, correspondientes a las esferas de curvatura en la geometría euclidiana.
El problema de Apolonio tiene una generalización natural que involucra n + 1 hiperesferas en n dimensiones. [4]
Tres dimensiones y la correspondencia línea-esfera
En el caso n = 3, la Q 3 cuádrica en P ( R 4,2 ) describe la geometría (de Lie) de las esferas en el espacio tridimensional euclidiano. Lie notó una notable similitud con la correspondencia de Klein para las líneas en el espacio tridimensional (más precisamente en R P 3 ). [2]
Suponga [ x ], [ y ] ∈ R P 3 , con coordenadas homogéneas ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) y ( y 0 , y 1 , y 2 , y 3 ). [5] Ponga p ij = x i y j - x j y i . Estas son las coordenadas homogéneas de la línea proyectiva que une x e y . Hay seis coordenadas independientes y satisfacen una sola relación, la relación de Plücker
- p 01 p 23 + p 02 p 31 + p 03 p 12 = 0.
De ello se deduce que existe una correspondencia biunívoca entre las líneas de R P 3 y los puntos de la cuadrícula de Klein , que es la hipersuperficie cuadrática de los puntos [ p 01 , p 23 , p 02 , p 31 , p 03 , p 12 ] en R P 5 satisfaciendo la relación de Plücker.
La forma cuadrática que define la relación de Plücker proviene de una forma bilineal simétrica de firma (3,3). En otras palabras, el espacio de las líneas en R P 3 es el cuádrico en P ( R 3,3 ). Aunque esto no es lo mismo que la cuadrática de Lie, se puede definir una "correspondencia" entre líneas y esferas usando los números complejos : si x = ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ) es un punto en el cuádrico de Lie (complejo) (es decir, los x i se toman como números complejos), entonces
- p 01 = x 0 + x 1 , p 23 = - x 0 + x 1
- p 02 = x 2 + yo x 3 , p 31 = x 2 - yo x 1
- p 03 = x 4 , p 12 = x 5
define un punto en el cuádrico de Klein complejado (donde i 2 = –1).
Ciclidos de Dupin
La geometría de la esfera de mentira proporciona una descripción natural de los ciclidos de Dupin . Estos se caracterizan como la envolvente común de dos familias de un parámetro de esferas S ( s ) y T ( t ), donde S y T son mapas de intervalos en la cuadrática de Lie. A fin de que un sobre común de existir, S ( s ) y T ( t ) debe ser incidente para todos los s y t , es decir, sus vectores representativos deben abarcar un nulo subespacio 2-dimensional de R 4,2 . Por lo tanto, definen un mapa en el espacio de los elementos de contacto Z 5 . Este mapa es Legendrian si y solo si las derivadas de S (o T ) son ortogonales a T (o S ), es decir, si y solo si hay una descomposición ortogonal de R 4,2 en una suma directa de subespacios tridimensionales. σ y τ de la firma (2,1), de manera que S toma valores en σ y T toma valores en τ . A la inversa, tal descomposición determina de forma única una elevación de contacto de una superficie que envuelve dos familias de esferas de un parámetro; la imagen de esta elevación de contacto está dada por los subespacios bidimensionales nulos que intersecan σ y τ en un par de líneas nulas.
Tal descomposición viene dada de manera equivalente, hasta una elección de signo, por un endomorfismo simétrico de R 4,2 cuyo cuadrado es la identidad y cuyos ± 1 autoespacios son σ y τ . Usando el producto interno en R 4,2 , esto se determina mediante una forma cuadrática en R 4,2 .
En resumen, los ciclidos de Dupin se determinan mediante formas cuadráticas en R 4,2 de manera que el endomorfismo simétrico asociado tiene un cuadrado igual a la identidad y los espacios propios de la firma (2,1).
Esto proporciona una forma de ver que los ciclidos de Dupin son ciclidos, en el sentido de que son conjuntos cero de cuarticos de una forma particular. Para esto, nota que, como en el caso planar, el espacio euclidiano 3-dimensional incrusta en la mentira cuádrica Q 3 como el conjunto de esferas punto de diferencia desde el punto ideales en el infinito. Explícitamente, el punto (x, y, z) en el espacio euclidiano corresponde al punto
- [0, x , y , z , –1, ( x 2 + y 2 + z 2 ) / 2]
en Q 3 . Un ciclón consta de los puntos [0, x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ] ∈ Q 3 que satisfacen una relación cuadrática adicional
para algunos simétricos 5 ×; 5 matriz A = ( a ij ). La clase de ciclidos es una familia natural de superficies en la geometría de la esfera de Lie, y los ciclidos de Dupin forman una subfamilia natural.
Ver también
- El teorema de Descartes también puede implicar considerar una línea como un círculo con radio infinito.
- Cuasiesfera
Notas
- ↑ El libro de texto moderno definitivo sobre geometría de esferas de Lie es Cecil 1992 . Casi todo el material de este artículo se puede encontrar allí.
- ^ a b Lie estaba particularmente complacido con este logro: ver Helgason 1994 , p. 7.
- ^ El enfoque de la esfera de Lie se analiza en Zlobec y Mramor Kosta 2001 ; para una clasificación de soluciones usando geometría de Laguerre, ver Knight 2005 .
- ^ Este problema y su solución es discutido por Zlobec & Mramor Kosta 2001 .
- ↑ La siguiente discusión se basa en Helgason 1994 , págs. 4-5.
Referencias
- Walter Benz (2007) Geometrías clásicas en contextos modernos: geometría de espacios de productos internos reales , capítulo 3: geometrías esféricas de Möbius y Lie, páginas 93-174, Birkhäuser , ISBN 978-3-7643-8541-5 .
- Blaschke, Wilhelm (1929), "Differentialgeometrie der Kreise und Kugeln", Vorlesungen über Differentialgeometrie , Grundlehren der mathischen Wissenschaften, 3 , Springer.
- Cecil, Thomas E. (1992), geometría de la esfera de Lie , Universitext, Springer-Verlag, Nueva York, ISBN 978-0-387-97747-8.
- Helgason, Sigurdur (1994), "Sophus Lie, the Mathematician" (PDF) , Actas de la conferencia en memoria de Sophus Lie, Oslo, agosto de 1992 , Oslo: Scandinavian University Press, págs. 3-21.
- Knight, Robert D. (2005), "The Apollonius contact problem and Lie contact geometry", Journal of Geometry , Basilea: Birkhäuser, 83 (1–2): 137–152, doi : 10.1007 / s00022-005-0009-x , ISSN 0047-2468.
- Milson, R. (2000) "Una descripción general de la correspondencia línea-esfera de Lie", págs. 1-10 de The Geometric Study of Differential Equations , editores de JA Leslie y TP Robart, American Mathematical SocietyISBN 0-8218-2964-5 .
- Zlobec, Borut Jurčič; Mramor Kosta, Neža (2001), "Configuraciones de ciclos y el problema de Apolonio" , Rocky Mountain Journal of Mathematics , 31 (2): 725–744, doi : 10.1216 / rmjm / 1020171586 , ISSN 0035-7596.
enlaces externos
- "Sobre complejos - en particular, complejos de línea y esfera - con aplicaciones a la teoría de ecuaciones diferenciales parciales" Traducción al inglés del artículo clave de Lie sobre el tema