En la teoría matemática de las ondículas , una ondícula spline es una ondícula construida utilizando una función spline . [1] Existen diferentes tipos de ondas spline. Las ondas de interpolación spline introducidas por CK Chui y JZ Wang se basan en una determinada fórmula de interpolación de splines . [2] Aunque estas ondas son ortogonales , no tienen soportes compactos . Existe una cierta clase de wavelets, únicas en cierto sentido, construidas usando B-splinesy tener soportes compactos. Aunque estas ondas no son ortogonales, tienen algunas propiedades especiales que las han hecho bastante populares. [3] La terminología wavelet spline se utiliza a veces para referirse a las wavelets en esta clase de wavelets spline. Estas ondículas especiales también se denominan ondículas B-spline y ondículas B-spline cardinales . [4] Las wavelets Battle-Lemarie también son wavelets construidas usando funciones spline. [5]
Animación que muestra las ondas cardinales B-spline con soporte compacto de los órdenes 1, 2, 3, 4 y 5.
B-splines cardinales
Sea n un número entero fijo no negativo . Sea C n el conjunto de todas las funciones de valor real definidas sobre el conjunto de números reales de modo que cada función del conjunto, así como sus primeras n derivadas, sean continuas en todas partes. Una secuencia bi-infinita . . . x -2 , x -1 , x 0 , x 1 , x 2 ,. . . tal que x r < x r +1 para todo r y tal que x r se acerca a ± ∞ cuando r se acerca a ± ∞ se dice que define un conjunto de nodos. Un spline de orden n con un conjunto de nudos { x r } es una función S ( x ) en C n tal que, para cada r , la restricción de S ( x ) al intervalo [ x r , x r +1 ) coincide con un polinomio con coeficientes reales de grado como máximo n en x .
Si la separación x r +1 - x r , donde r es un número entero, entre los nodos sucesivos del conjunto de nudos es una constante, la spline se denomina spline cardinal . El conjunto de números enteros Z = {. . ., -2, -1, 0, 1, 2,. . .} es una opción estándar para el conjunto de nudos de una spline cardinal. A menos que se especifique lo contrario, generalmente se asume que el conjunto de nudos es el conjunto de números enteros.
Un cardinal B-spline es un tipo especial de cardinal spline. Para cualquier entero positivo m, el B-spline cardinal de orden m , denotado por N m ( x ), se define recursivamente como sigue.
, por .
Las expresiones concretas para los B-splines cardinales de todos los órdenes hasta 5 y sus gráficos se dan más adelante en este artículo.
El cardinal B-splines de las órdenes de m y m-1 están relacionados por la identidad:.
La función es simétrico sobre , es decir, .
La derivada de es dado por .
Relación de dos escalas
El B-spline cardinal de orden m satisface la siguiente relación de dos escalas:
.
Propiedad Riesz
El cardinal B-spline de orden m satisface la siguiente propiedad, conocida como propiedad de Riesz: existen dos números reales positivos y tal que para cualquier secuencia de dos caras sumable al cuadrado y para cualquier x ,
dónde es la norma en el espacio ℓ 2 .
Cardinal B-splines de pedidos pequeños
Los B-splines cardinales se definen de forma recursiva a partir del B-spline de orden 1, a saber , que toma el valor 1 en el intervalo [0, 1) y 0 en el resto. Puede ser necesario emplear sistemas de álgebra computarizada para obtener expresiones concretas para B-splines cardinales de orden superior. Las expresiones concretas para B-splines cardinales de todos los órdenes hasta 6 se dan a continuación. También se muestran los gráficos de B-splines cardinales de órdenes hasta 4. En las imágenes, también se muestran los gráficos de los términos que contribuyen a las correspondientes relaciones de dos escalas. Los dos puntos en cada imagen indican los extremos del intervalo que soporta el B-spline.
B-spline constante
El B-spline de orden 1, a saber , es la constante B-spline. Está definido por
La relación de dos escalas para este B-spline es
B-spline constante
B-spline lineal
El B-spline de orden 2, a saber , es la B-spline lineal. Es dado por
La relación de dos escalas para esta ondícula es
B-spline lineal
B-spline cuadrático
El B-spline de orden 3, a saber , es el B-spline cuadrático. Es dado por
La relación de dos escalas para esta ondícula es
B-spline cuadrático
B-spline cúbico
El B-spline cúbico es el B-spline cardinal de orden 4, denotado por . Viene dado por las siguientes expresiones:
La relación de dos escalas para el B-spline cúbico es
B-spline cúbico
Observación : la leyenda del gráfico amarillo debe ser
B-spline bi-cuadrático
El B-spline bi-cuadrático es el B-spline cardinal de orden 5 denotado por . Es dado por
La relación de dos escalas es
Quintic B-spline
El B-spline quíntico es el B-spline cardinal de orden 6 denotado por . Es dado por
Análisis de resolución múltiple generado por B-splines cardinales
El cardinal B-spline de orden m genera un análisis de resolución múltiple . De hecho, de las propiedades elementales de estas funciones enunciadas anteriormente, se sigue que la funciónes cuadrado integrable y es un elemento del espaciode funciones cuadradas integrables. Para configurar el análisis de resolución múltiple se utilizaron las siguientes notaciones.
Para cualquier número entero , define la función .
Por cada entero , define el subespacio de como el cierre del tramo lineal del conjunto.
Que estos definan un análisis de resolución múltiple se deduce de lo siguiente:
Los espacios satisfacer la propiedad: .
El cierre en de la unión de todos los subespacios es todo el espacio .
La intersección de todos los subespacios. es el conjunto singleton que contiene solo la función cero.
Por cada entero el conjunto es una base incondicional para . (Una secuencia { x n } en un espacio de Banach X es de manera incondicional para el espacio X si cada permutación de la secuencia { x n } es también una base para el mismo espacio X . [6] )
Wavelets de B-splines cardinales
Sea m un entero positivo fijo yser el cardinal B-spline de orden m . Una función en es una ondícula básica relativa a la función cardinal B-spline si el cierre en del tramo lineal del conjunto (este cierre se denota por ) es el complemento ortogonal de en . El subíndice m en se utiliza para indicar que es una ondícula básica relativa al cardinal B-spline de orden m . No existe una ondícula básica única relativo al cardinal B-spline . Algunos de estos se analizan en las siguientes secciones.
Wavelets en relación con B-splines cardinales utilizando splines interpolatorios fundamentales
Spline interpolatorio fundamental
Definiciones
Sea m un entero positivo fijo y seaser el cardinal B-spline de orden m . Dada una secuencia de números reales, el problema de encontrar una secuencia de números reales tales que
para todos ,
se conoce como el problema de interpolación de splines cardinales . El caso especial de este problema donde la secuencia es la secuencia , dónde es la función delta de Kronecker definido por
,
es el problema fundamental de interpolación de splines cardinales . La solución del problema produce la spline interpolatoria cardinal fundamental de orden m . Esta spline se denota por y es dado por
donde la secuencia es ahora la solución del siguiente sistema de ecuaciones:
Procedimiento para encontrar la spline interpolatoria cardinal fundamental
La spline interpolatoria cardinal fundamental puede determinarse usando transformadas z . Usando las siguientes notaciones
se puede ver en las ecuaciones que definen la secuencia que
de donde obtenemos
.
Esto se puede utilizar para obtener expresiones concretas para .
Ejemplo
Como ejemplo concreto, el caso puede ser investigado. La definición de implica que
Los únicos valores distintos de cero de son dadas por y los valores correspondientes son
Por lo tanto reduce a
Esto produce la siguiente expresión para .
Dividiendo esta expresión en fracciones parciales y expandiendo cada término en potencias de z en una región anular, los valores dese puede calcular. A continuación, estos valores se sustituyen en la expresión de ceder
Wavelet usando spline interpolatorio fundamental
Para un entero positivo m , la función definido por
es una ondícula básica relativa al cardinal B-spline de orden . El subíndice I ense utiliza para indicar que se basa en la fórmula spline interpolatoria. Esta ondícula básica no es compatible de forma compacta.
Ejemplo
La ondícula de orden 2 que utiliza spline interpolatoria viene dada por
La expresión para ahora produce la siguiente fórmula:
Ahora, usando la expresión para la derivada de en términos de la función se puede poner en la siguiente forma:
La siguiente función lineal por partes es la aproximación a obtenido tomando la suma de los términos correspondientes a en la expresión de serie infinita para .
Relación de dos escalas
La relación de dos escalas para la función wavelet es dado por
dónde
Wavelets B-spline con soporte compacto
Las ondículas spline generadas utilizando las ondículas interpolatorias no son compatibles de forma compacta. Soporte compacto wavelets B-spline fueron descubiertos por Charles K. Chui y Jian Zhong Wang y publicado en 1991. [3] [7] El B-spline soporte compacto wavelet con relación a la cardinal B-splinede orden m descubierto por Chui y Wong y denotado por, tiene como soporte el intervalo . Estas ondículas son esencialmente únicas en cierto sentido que se explican a continuación.
Definición
La ondícula B-spline compactamente soportada de orden m viene dada por
Esta es una spline de orden m . Como caso especial, la ondícula B-spline con soporte compacto de orden 1 es
La wavelet es la única wavelet con soporte mínimo en el siguiente sentido: Si genera y tiene un apoyo que no excede en longitud entonces para alguna constante distinta de cero y por algún entero . [8]
es simétrico para m par y antisimétrico para m impar .
Relación de dos escalas
satisface la relación de dos escalas:
dónde .
Relación de descomposición
La relación de descomposición para la ondícula B-spline con soporte compacto tiene la siguiente forma:
donde los coeficientes y son dadas por
Aquí la secuencia es la secuencia de coeficientes en la ondícula cardinal spline de interpolación fundamental de orden m .
Wavelets de B-spline con soporte compacto de pedidos pequeños
Wavelet B-spline de soporte compacto de orden 1
La relación de dos escalas para la ondícula B-spline con soporte compacto de orden 1 es
La expresión de forma cerrada para la ondícula B-spline con soporte compacto de orden 1 es
Wavelet B-spline de soporte compacto de orden 2
La relación de dos escalas para la ondícula B-spline con soporte compacto de orden 2 es
La expresión de forma cerrada para la ondícula B-spline con soporte compacto de orden 2 es
Wavelet B-spline de soporte compacto de orden 3
La relación de dos escalas para la ondícula B-spline con soporte compacto de orden 3 es
La expresión de forma cerrada para la ondícula B-spline con soporte compacto de orden 3 es
Wavelet B-spline de soporte compacto de orden 4
La relación de dos escalas para la ondícula B-spline con soporte compacto de orden 4 es
La expresión de forma cerrada para la ondícula B-spline con soporte compacto de orden 4 es
Wavelet B-spline de soporte compacto de orden 5
La relación de dos escalas para la ondícula B-spline con soporte compacto de orden 5 es
La expresión de forma cerrada para la ondícula B-spline con soporte compacto de orden 5 es
Imágenes de wavelets B-spline con soporte compacto
Onda B-spline de orden 1
Onda B-spline de orden 2
Onda B-spline de orden 3
Onda B-spline de orden 4
Onda B-spline de orden 5
Olas de batalla Lemarie
Las ondas de Battle-Lemarie forman una clase de ondas ortonormales construidas utilizando la clase de B-splines cardinales. Las expresiones para estas ondículas se dan en el dominio de la frecuencia; es decir, se definen especificando sus transformadas de Fourier. La transformada de Fourier de una función de t , digamos,, se denota por .
Definición
Sea m un entero positivo y seaser el cardinal B-spline de orden m . La transformada de Fourier de es . La función de escalapara la ondícula de Battle-Lemarie de orden m es aquella función cuya transformada de Fourier es
La ondícula de Battle-Lemarie de orden m es la función cuya transformada de Fourier es
Referencias
^ Michael Unser (1997). "Diez buenas razones para usar wavelets spline" (PDF) . Proc. SPIE Vol. 3169, Aplicaciones de wavelets en el procesamiento de señales e imágenes V : 422–431 . Consultado el 21 de diciembre de 2014 .
^Charles K Chui (1992). Introducción a las Wavelets . Prensa académica. pag. 177.
^Ingrid Daubechies (1992). Diez conferencias sobre Wavelets . Filadelfia: Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas. págs. 146-153 .
^Christopher Heil (2011). Un manual básico de teoría . Birkhauser. pp. 177 -188.
^Charles K Chui (1992). Introducción a las Wavelets . Prensa académica. pag. 249.
^Charles K Chui (1992). Introducción a las Wavelets . Prensa académica. pag. 184.
Otras lecturas
Amir Z Averbuch y Valery A Zheludev (2007). "Transformaciones wavelet generadas por splines" (PDF) . Revista Internacional de Wavelets, Multiresolución y Procesamiento de la Información . 257 (5) . Consultado el 21 de diciembre de 2014 .
Amir Z. Averbuch, Pekka Neittaanmaki y Valery A. Zheludev (2014). Spline y Spline Métodos Wavelet con aplicaciones a la señal de volumen y Procesamiento de Imágenes I . Saltador. ISBN 978-94-017-8925-7.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )