En matemáticas , y más específicamente en álgebra homológica , el lema de división establece que en cualquier categoría abeliana , las siguientes afirmaciones son equivalentes para una secuencia corta exacta
- División derecha
- Existe un morfismo u : C → B tal que ru es la identidad en C , id C ,
- Suma directa
- Hay un isomorfismo h de B a la suma directa de A y C , tal que hq es el monomorfismo natural de A en la suma directa, y es la proyección natural de la suma directa sobre C .
Si estas afirmaciones son válidas, la secuencia se denomina secuencia exacta dividida y se dice que la secuencia se divide .
En la secuencia corta exacta anterior, donde la secuencia se divide, permite refinar el primer teorema del isomorfismo , que establece que:
a:
- Segundo = q ( A ) ⊕ u ( C ) ≅ A ⊕ C
donde el primer teorema de isomorfismo es entonces sólo la proyección sobre C .
Es una generalización categórica del teorema de rango-nulidad (en la forma V ≅ ker T ⊕ im T ) en álgebra lineal .
Prueba de la categoría de grupos abelianos.
3. ⇒ 1. y 3. ⇒ 2.
Primero, para mostrar que 3. implica tanto 1. como 2., asumimos 3. y tomamos como t la proyección natural de la suma directa sobre A , y tomamos como u la inyección natural de C en la suma directa.
1. ⇒ 3.
Para probar que 1. implica 3., primero observe que cualquier miembro de B está en el conjunto ( ker t + im q ). Esto se sigue ya que para todo b en B , b = ( b - qt ( b )) + qt ( b ) ; qt ( b ) está obviamente en im q , y b - qt ( b ) está en ker t , ya que
- t ( b - qt ( b )) = t ( b ) - TQT ( b ) = t ( b ) - ( tq ) t ( b ) = t ( b ) - t ( b ) = 0.
A continuación, la intersección de im q y ker t es 0, ya que si existe a en A tal que q ( a ) = b , y t ( b ) = 0 , entonces 0 = tq ( a ) = a ; y por tanto, b = 0 .
Esto prueba que B es la suma directa de im q y ker t . Entonces, para todo b en B , b puede identificarse unívocamente por algún a en A , k en ker t , tal que b = q ( a ) + k .
Por exactitud ker r = im q . La subsecuencia B ⟶ C ⟶ 0 implica que r está en; por lo tanto, para cualquier c en C existe algo b = q ( a ) + k tal que c = r ( b ) = r ( q ( a ) + k ) = r ( k ) . Por lo tanto, para cualquier c en C , existe k en ker t tal que c = r ( k ), y r (ker t ) = C .
Si r ( k ) = 0 , entonces k está en im q ; desde la intersección de im q y ker t = 0 , entonces k = 0 . Por tanto, la restricción del morfismo r : ker t → C es un isomorfismo; y ker t es isomorfo a C .
Finalmente, im q es isomorfo a A debido a la exactitud de 0 ⟶ A ⟶ B ; entonces B es isomorfo a la suma directa de A y C , lo que prueba (3).
2. ⇒ 3.
Para mostrar que 2. implica 3., seguimos un argumento similar. Cualquier miembro de B está en el conjunto ker r + im u ; ya que para todo b en B , b = ( b - ur ( b )) + ur ( b ) , que está en ker r + im u . La intersección de ker r e im u es 0 , ya que si r ( b ) = 0 y u ( c ) = b , entonces 0 = ru ( c ) = c .
Por exactitud, im q = ker r , y dado que q es una inyección, im q es isomorfo a A , entonces A es isomorfo a ker r . Desde ru es una biyección, u es una inyección, y por lo tanto im u es isomorfo a C . Así que B es otra vez la suma directa de A y C .
Una prueba alternativa de " absurdo abstracto " del lema escindido puede formularse enteramente en términos de teoría de categorías.
Grupos no abelianos
En la forma indicada aquí, el lema de división no se mantiene en la categoría completa de grupos , que no es una categoría abeliana.
Parcialmente cierto
Es parcialmente cierto: si se deja dividida una breve secuencia exacta de grupos o una suma directa (1. o 3.), entonces se cumplen todas las condiciones. Para una suma directa, esto está claro, ya que uno puede inyectar o proyectar a los sumandos. Para una secuencia dividida a la izquierda, el mapa t × r: B → A × C da un isomorfismo, por lo que B es una suma directa (3.), y así invirtiendo el isomorfismo y componiendo con la inyección natural C → A × C da un inyección C → B desdoblamiento r (2.).
Sin embargo, si una secuencia corta y exacta de grupos está dividida por la derecha (2), entonces no es necesario que esté dividida por la izquierda o una suma directa (ni 1. ni 3. siguen): el problema es que la imagen de la división derecha no necesita sé normal. Lo cierto en este caso es que B es un producto semidirecto , aunque en general no es un producto directo.
Contraejemplo
Para formar un contraejemplo, tome el grupo no abeliano más pequeño B ≅ S 3 , el grupo simétrico de tres letras. Sea A el subgrupo alterno y sea C = B / A ≅ {± 1 }. Deje que q y r denotan el mapa inclusión y la señal de mapa, respectivamente, de modo que
es una breve secuencia exacta. 3. falla, porque S 3 no es abeliano. Pero 2. se cumple: podemos definir u : C → B mapeando el generador a cualquier ciclo de dos. Tenga en cuenta para completar que 1. falla: cualquier mapa t : B → A debe asignar cada dos ciclos a la identidad porque el mapa tiene que ser un homomorfismo de grupo , mientras que el orden de un dos ciclos es 2 que no se puede dividir por el orden de los elementos en A distinto del elemento de identidad, que es 3 ya que A es el subgrupo alterno de S 3 , o es decir, el grupo cíclico de orden 3. Pero cada permutación es un producto de dos ciclos, por lo que t es el mapa trivial, de donde tq : A → A es el mapa trivial, no la identidad.
Referencias
- Saunders Mac Lane : Homología . Reimpresión de la edición de 1975, Springer Classics in Mathematics, ISBN 3-540-58662-8 , p. dieciséis
- Allen Hatcher : Topología algebraica . 2002, Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0 , pág. 147