Difundir (intuicionismo)

En matemáticas intuicionistas , una especie es una colección (similar a un conjunto clásico en que una especie está determinada por sus miembros). Una extensión es un tipo particular de especies de secuencias infinitas definidas a través de propiedades decidibles finitas . En la terminología moderna, una extensión es un conjunto cerrado habitado de secuencias. La noción de propagación fue propuesta por primera vez por LEJ Brouwer (1918B) y se utilizó para definir los números reales (también denominados continuum ). A medida que se desarrollaron las ideas de Brouwer, el uso de extensiones se volvió común en las matemáticas intuicionistas , especialmente cuando se trata de secuencias de elección.y los fundamentos del análisis intuicionista (Dumett 77, Troelstra 77).

Ejemplos simples de diferenciales son:

• el conjunto de secuencias de números pares;
• el conjunto de secuencias de los números enteros 1–6;
• el conjunto de secuencias de comandos de terminal válidos.

Los diferenciales se definen mediante una función de distribución que realiza una "comprobación" ( decidible ) en secuencias finitas. La noción de difusión y su función de difusión son intercambiables en la literatura; ambos son tratados como uno y el mismo.

Si todas las partes iniciales finitas de una secuencia infinita satisfacen el "control" de una función de dispersión, entonces podemos decir que la secuencia infinita es admisible para la extensión .

Gráfico en teoría , uno puede pensar en una extensión como un arraigado , dirigida árbol con numéricas vértices etiquetas.

Definición formal

Este artículo utiliza ${\displaystyle \langle }$ para denotar el comienzo de una secuencia y ${\displaystyle \rangle }$ para denotar el final de una secuencia.

Una función de propagación ${\displaystyle s}$es una función que asigna secuencias finitas a 0 [es decir, la secuencia finita es admisible para la propagación] o 1 [es decir, la secuencia finita es inadmisible para la propagación], y satisface las siguientes propiedades:

• Dada cualquier secuencia finita ${\displaystyle \langle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i}\rangle }$ cualquiera ${\displaystyle s(\langle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i}\rangle )=0}$ o ${\displaystyle s(\langle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i}\rangle )=1}$ (la propiedad ${\displaystyle s}$ las "pruebas" deben ser decidibles).

• Dada la secuencia vacía (la secuencia sin elementos representados por ${\displaystyle \langle \rangle }$), ${\displaystyle s(\langle \rangle )=0}$ (la secuencia vacía está en cada pliego).

• Dada cualquier secuencia finita ${\displaystyle \langle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i}\rangle }$ tal que ${\displaystyle s(\langle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i}\rangle )=0}$ entonces debe existir algo ${\displaystyle k}$ tal que ${\displaystyle s(\langle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i},k\rangle )=0}$ (cada secuencia finita en la extensión se puede extender a otra secuencia finita en la extensión agregando un elemento extra al final de la secuencia)

Dada una secuencia infinita ${\displaystyle \langle x_{1},x_{2},\ldots \rangle }$, decimos que la secuencia finita ${\displaystyle \langle y_{1},y_{2},\ldots ,y_{i}\rangle }$es un segmento inicial de${\displaystyle \langle x_{1},x_{2},\ldots \rangle }$ si ${\displaystyle x_{1}=y_{1}}$ y ${\displaystyle x_{2}=y_{2}}$ y y ${\displaystyle x_{i}=y_{i}}$.

Así decimos que una secuencia infinita ${\displaystyle \langle x_{1},x_{2},\ldots \rangle }$ es admisible para una extensión definida por la función de extensión ${\displaystyle s}$ si cada segmento inicial de ${\displaystyle \langle x_{1},x_{2},\ldots \rangle }$ es admisible para ${\displaystyle s}$.

Fans

Un tipo especial de difusión que es de particular interés en los fundamentos intuicionistas de las matemáticas es una difusión finitaria ; también conocido como ventilador . El uso principal de los ventiladores está en el teorema del ventilador , un resultado utilizado en la derivación del teorema de continuidad uniforme .

Informalmente; una función de propagación${\displaystyle s}$define un abanico si, dada una secuencia finita admisible para la extensión, solo hay un número finito de valores posibles que podemos agregar al final de esta secuencia de modo que nuestra nueva secuencia finita extendida sea admisible para la extensión. Alternativamente, podemos decir que hay un límite superior en el valor de cada elemento de cualquier secuencia admisible para la extensión.

Formalmente; una función de propagación${\displaystyle s}$ define un abanico si se le da cualquier secuencia admisible para la propagación ${\displaystyle \langle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i}\rangle }$, entonces existe algo ${\displaystyle k}$ tal que, dado cualquier ${\displaystyle j>k}$ luego ${\displaystyle s(\langle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i},j\rangle )=1}$ (es decir, dada una secuencia admisible para el ventilador, solo tenemos un número finito de extensiones posibles que también son admisibles para el ventilador, y conocemos el elemento máximo que podemos agregar a nuestra secuencia admisible de modo que la extensión siga siendo admisible).

Algunos ejemplos de fans son:

• el conjunto de secuencias de movimientos de ajedrez legales;
• el conjunto de infinitas secuencias binarias ;
• el conjunto de secuencias de letras.

Spread / fans de uso común

Esta sección proporciona la definición de 2 diferenciales comúnmente utilizados en la literatura.

La difusión universal (el continuo )

Dada cualquier secuencia finita ${\displaystyle \langle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i}\rangle }$, tenemos ${\displaystyle s(\langle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i}\rangle )=0}$. En otras palabras, esta es la extensión que contiene todas las secuencias posibles. Esta extensión se utiliza a menudo para representar la colección de todas las secuencias de elección .

La extensión binaria

Dada cualquier secuencia finita ${\displaystyle \langle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i}\rangle }$, si todos nuestros elementos (${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i}}$) son 0 o 1 entonces ${\displaystyle s(\langle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i}\rangle )=0}$, de lo contrario ${\displaystyle s(\langle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i}\rangle )=1}$. En otras palabras, esta es la extensión que contiene todas las secuencias binarias .

Untables alisados

Un uso clave de los diferenciales en los fundamentos del análisis intuitivo-isítico es el uso de diferenciales de números naturales (o enteros) para representar reales. Esto se logra a través del concepto de una extensión vestida, que describimos a continuación.

Una colcha vestida es un par de objetos; una extensión${\displaystyle s}$, y alguna función ${\displaystyle f}$ actuando sobre secuencias finitas.

Un ejemplo de una extensión vestida es la extensión de números enteros tal que ${\displaystyle s(\langle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i}\rangle )=0}$ si ${\displaystyle \forall y_{0<y\leq i}[x_{i}=2x_{y-1}+/-1\ or\ 0]}$, y la función ${\displaystyle f(\langle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i}\rangle )=x_{i}*2^{2-i}}$(la extensión vestida que representa los números reales ).

Referencias

• LEJ Brouwer Begründung der Mengenlehre unabhängig vom logischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Erster Teil, Allgemeine Mengenlehre , KNAW Verhandelingen, 5: 1–43 (1918A)
• Michael Dummett Elementos del intuicionismo , Oxford University Press (1977)
• AS Troelstra Choice Sequences: A Chapter of Intuitionistic Mathematics , Clarendon Press (1977)

Notas del autor

Productos para untar vestidos: cómo pasamos de los productos para untar a los reales.