En matemáticas, las representaciones Springer ciertas representaciones del grupo de Weyl W asociada a clases de conjugación unipotentes de un semisimple grupo algebraico G . Hay otro parámetro involucrado, una representación de cierto grupo finito A ( u ) determinado canónicamente por la clase de conjugación unipotente. A cada par ( u , φ) que consta de un elemento unipotente u de G y una representación irreducible φ de A ( u), se puede asociar una representación irreducible del grupo Weyl o 0. La asociación
depende sólo de la clase de conjugación de u y genera una correspondencia entre las representaciones irreductibles del grupo Weyl y los pares ( u , φ) de la conjugación módulo, denominada correspondencia de Springer . Se sabe que toda representación irreductible de W ocurre exactamente una vez en la correspondencia, aunque φ puede ser una representación no trivial. La correspondencia de Springer ha sido descrita explícitamente en todos los casos por Lusztig, Spaltenstein y Shoji. La correspondencia, junto con sus generalizaciones debidas a Lusztig, juega un papel clave en la clasificación de Lusztig de las representaciones irreductibles de grupos finitos de tipo Lie .
Construcción
Se han desarrollado varios enfoques para la correspondencia de Springer. La construcción original de TA Springer (1976) procedió definiendo una acción de W en los grupos de cohomología l-ádicos de dimensión superior de la variedad algebraica B u de los subgrupos de Borel de G que contienen un elemento unipotente dado u de un grupo algebraico semisimple G sobre un campo finito. Esta construcción fue generalizada por Lusztig (1981), quien también eliminó algunos supuestos técnicos. Springer más tarde dio una construcción diferente (1978), utilizando la cohomología ordinaria con coeficientes racionales y grupos algebraicos complejos.
Kazhdan y Lusztig encontraron una construcción topológica de representaciones de Springer usando la variedad Steinberg y, supuestamente, descubrieron polinomios Kazhdan-Lusztig en el proceso. La correspondencia generalizada de Springer ha sido estudiada por Lusztig-Spaltenstein (1985) y por Lusztig en su trabajo sobre gavillas de caracteres . Borho y MacPherson (1983) dieron otra construcción más de la correspondencia de Springer.
Ejemplo
Para el grupo lineal especial SL n , las clases de conjugación unipotentes están parametrizadas por particiones de n : si u es un elemento unipotente, la partición correspondiente viene dada por los tamaños de los bloques de Jordan de u . Todos los grupos A ( u ) son triviales.
El grupo de Weyl W es el grupo simétrico S n en n letras. Sus representaciones irreductibles sobre un campo de característica cero también están parametrizadas por las particiones de n . La correspondencia de Springer en este caso es una biyección, y en las parametrizaciones estándar, se da por transposición de las particiones (de modo que la representación trivial del grupo Weyl corresponde a la clase unipotente regular, y la representación del signo corresponde al elemento identidad de G ).
Aplicaciones
La correspondencia de Springer resultó estar estrechamente relacionada con la clasificación de los ideales primitivos en el álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie semisimple compleja , como principio general y como herramienta técnica. Muchos resultados importantes se deben a Anthony Joseph . Borho, Brylinski y MacPherson desarrollaron un enfoque geométrico .
Referencias
- Walter Borho, Jean-Luc Brylinski y Robert MacPherson. Órbitas nilpotentes, ideales primitivos y clases características . Una perspectiva geométrica en la teoría de anillos. Progress in Mathematics, 78. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1989. ISBN 0-8176-3473-8
- W. Borho y R.MacPherson. Resoluciones parciales de variedades nilpotentes . Análisis y topología de espacios singulares, II, III (Luminy, 1981), 23–74, Astérisque, 101-102, Soc. Matemáticas. Francia, París, 1983.
- D. Kazhdan y G. Lusztig Un enfoque topológico de la representación de Springer , Adv. Matemáticas. 38 (1980) 222–228.
- G. Lusztig. Polinomios verdes y singularidades de clases unipotentes . Adv. Matemáticas. 42 (1981), 169-178.
- G. Lusztig y N. Spaltenstein. Sobre la correspondencia generalizada de Springer para grupos clásicos . Estudios avanzados en matemáticas puras, vol. 6 (1985), 289–316.
- N. Spaltenstein. Sobre la correspondencia generalizada de Springer para grupos excepcionales . Estudios avanzados en matemáticas puras, vol. 6 (1985), 317–338.
- Springer, TA (1976), "Sumas trigonométricas, funciones de Green de grupos finitos y representaciones de grupos de Weyl", Invent. Matemáticas. , 36 : 173–207, Bibcode : 1976InMat..36..173S , doi : 10.1007 / BF01390009 , MR 0442103
- Springer, TA Una construcción de representaciones de grupos de Weyl. Inventar. Matemáticas. 44 (1978), núm. 3, 279-293. SEÑOR0491988 doi : 10.1007 / BF01403165
- Springer, TA Quelques applications de la cohomologie intersection . Séminaire Bourbaki, exposé 589, Astérisque 92–93 (1982).