En matemáticas , los grupos de cohomología étale de una variedad o esquema algebraico son análogos algebraicos de los grupos de cohomología habituales con coeficientes finitos de un espacio topológico , introducidos por Grothendieck para probar las conjeturas de Weil . La teoría de la cohomología de Étale se puede utilizar para construir la cohomología ℓ-ádica , que es un ejemplo de una teoría de la cohomología de Weil en geometría algebraica. Esto tiene muchas aplicaciones, como la demostración de las conjeturas de Weil y la construcción de representaciones de grupos finitos de tipo Lie .
La cohomología de Étale fue introducida por Alexander Grothendieck ( 1960 ), utilizando algunas sugerencias de Jean-Pierre Serre , y fue motivada por el intento de construir una teoría de la cohomología de Weil para probar las conjeturas de Weil . Los cimientos fueron poco después elaborados por Grothendieck junto con Michael Artin , y publicados como ( Artin 1962 ) y SGA 4 . Grothendieck usó la cohomología étale para probar algunas de las conjeturas de Weil ( Bernard Dwork ya había logrado probar la parte de racionalidad de las conjeturas en 1960 usando p-adicmétodos), y la conjetura restante, el análogo de la hipótesis de Riemann, fue probado por Pierre Deligne (1974) usando cohomología ℓ-ádica.
Un mayor contacto con la teoría clásica se encontró en la forma de la versión Grothendieck del grupo Brauer ; esto fue aplicado en poco tiempo a la geometría diofántica , por Yuri Manin . La carga y el éxito de la teoría general fueron sin duda tanto integrar toda esta información como demostrar resultados generales como la dualidad de Poincaré y el teorema del punto fijo de Lefschetz en este contexto.
Grothendieck desarrolló originalmente la cohomología étale en un entorno extremadamente general, trabajando con conceptos como los tópicos de Grothendieck y los universos de Grothendieck . En retrospectiva, gran parte de esta maquinaria resultó innecesaria para la mayoría de las aplicaciones prácticas de la teoría étale, y Deligne (1977) ofreció una exposición simplificada de la teoría de la cohomología étale. El uso de Grothendieck de estos universos (cuya existencia no puede probarse en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ) llevó a algunas especulaciones de que la cohomología étale y sus aplicaciones (como la prueba del último teorema de Fermat ) requieren axiomas más allá de ZFC. Sin embargo, en la práctica, la cohomología étale se utiliza principalmente en el caso de poleas construibles. sobre esquemas de tipo finito sobre los enteros, y esto no necesita axiomas profundos de la teoría de conjuntos: con cuidado se pueden construir los objetos necesarios sin usar ningún conjunto incontable, y esto se puede hacer en ZFC, e incluso en teorías mucho más débiles.
La cohomología Étale encontró rápidamente otras aplicaciones, por ejemplo, Deligne y George Lusztig la utilizaron para construir representaciones de grupos finitos de tipo Lie ; véase la teoría de Deligne-Lusztig .
Para las variedades algebraicas complejas, las invariantes de la topología algebraica como el grupo fundamental y los grupos de cohomología son muy útiles, y uno quisiera tener análogos de estos para variedades sobre otros campos, como campos finitos. (Una razón para esto es que Weil sugirió que las conjeturas de Weil podrían probarse usando tal teoría de cohomología). En el caso de la cohomología de haces coherentes , Serre demostró que se podía obtener una teoría satisfactoria simplemente usando la topología de Zariski.de la variedad algebraica, y en el caso de variedades complejas esto da los mismos grupos de cohomología (para haces coherentes) que la topología compleja mucho más fina. Sin embargo, para haces constantes como el haz de números enteros esto no funciona: los grupos de cohomología definidos usando la topología de Zariski se comportan mal. Por ejemplo, Weil imaginó una teoría de cohomología para variedades sobre campos finitos con poder similar a la cohomología singular habitual de espacios topológicos, pero de hecho, cualquier haz constante en una variedad irreducible tiene cohomología trivial (todos los grupos de cohomología superior se desvanecen).