En las matemáticas de los números figurados , el problema de la bala de cañón pregunta qué números son cuadrados y piramidales cuadrados . El problema se puede plantear como: dada una disposición cuadrada de balas de cañón, ¿para qué cuadrados de tamaño pueden estas balas de cañón también disponerse en una pirámide cuadrada? De manera equivalente, qué cuadrados se pueden representar como la suma de cuadrados consecutivos, comenzando desde 1.
Formulación como una ecuación diofántica
Cuando las balas de cañón se apilan dentro de un marco cuadrado, el número de bolas es un número piramidal cuadrado; Thomas Harriot dio una fórmula para este número alrededor de 1587, respondiendo a una pregunta que le hizo Sir Walter Raleigh en su expedición a América. [1] Édouard Lucas formuló el problema de la bala de cañón como una ecuación diofántica.
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Solución
Lucas conjeturó que las únicas soluciones son N = 1, M = 1 y N = 24, M = 70, usando 1 o 4900 balas de cañón. No fue hasta 1918 que GN Watson encontró una prueba de este hecho, utilizando funciones elípticas . Más recientemente, se han publicado pruebas elementales . [2] [3]
Aplicaciones
La solución N = 24, M = 70 se puede utilizar para construir el Leech Lattice . El resultado tiene relevancia para la teoría de cuerdas bosónicas en 26 dimensiones. [4]
Aunque es posible enlosar un cuadrado geométrico con cuadrados desiguales , no es posible hacerlo con una solución al problema de la bala de cañón. Los cuadrados con una longitud de lado de 1 a 24 tienen áreas iguales al cuadrado con una longitud de lado de 70, pero no se pueden colocar en mosaico.
Problemas relacionados
Los únicos números que son simultáneamente triangulares y piramidales cuadrados son 1, 55, 91 y 208335. [5] [6]
No hay números (aparte de la solución trivial 1) que sean tetraédricos y piramidales cuadrados. [6]
Ver también
- Número triangular cuadrado , los números que son simultáneamente cuadrados y triangulares
- Sexta potencia , los números que son simultáneamente cuadrados y cúbicos
- Empaquetado cerrado de esferas iguales
Referencias
- ^ David Darling. "Problema de la bala de cañón" . La Enciclopedia de Ciencias de Internet .
- ^ Ma, DG (1985). "Una prueba elemental de las soluciones de la ecuación diofántica". Sichuan Daxue Xuebao . 4 : 107-116.
- ^ Anglin, WS (1990). "El rompecabezas de la pirámide cuadrada". American Mathematical Monthly . 97 (2): 120-124. doi : 10.2307 / 2323911 . JSTOR 2323911 .
- ^ "semana95" . Math.ucr.edu. 1996-11-26 . Consultado el 4 de enero de 2012 .
- ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A039596 (Números que son simultáneamente triangulares y piramidales cuadrados)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
- ^ a b Weisstein, Eric W. "Número piramidal cuadrado" . MathWorld .