Un triángulo áureo , también llamado triángulo sublime , [1] es un triángulo isósceles en el que el lado duplicado está en la proporción áurea. al lado de la base:
Anglos
- El ángulo del vértice es: [2]
- Por tanto, el triángulo dorado es un triángulo agudo (isósceles).
- Dado que los ángulos de un triángulo suman radianes, cada uno de los ángulos base (CBX y CXB) es:
- Nota:
- El triángulo dorado se identifica de forma única como el único triángulo que tiene sus tres ángulos en la proporción 1: 2: 2 (36 °, 72 °, 72 °). [3]
En otras figuras geométricas
- Triángulos de oro se pueden encontrar en las espigas de regulares estrellas de cinco puntas .
- Los triángulos dorados también se pueden encontrar en un decágono regular , un polígono de diez lados equiangular y equilátero , conectando dos vértices adyacentes al centro. Esto se debe a que: 180 (10−2) / 10 = 144 ° es el ángulo interior, y lo biseca a través del vértice hasta el centro: 144/2 = 72 °. [1]
- Además, se encuentran triángulos dorados en las redes de varias estelaciones de dodecaedros e icosaedros .
Espiral logarítmica
El triángulo dorado se usa para formar algunos puntos de una espiral logarítmica . Al bisecar uno de los ángulos de la base, se crea un nuevo punto que, a su vez, forma otro triángulo dorado. [4] El proceso de bisección se puede continuar indefinidamente, creando un número infinito de triángulos dorados. Se puede dibujar una espiral logarítmica a través de los vértices. Esta espiral también se conoce como espiral equiangular, término acuñado por René Descartes . "Si se dibuja una línea recta desde el polo a cualquier punto de la curva, corta la curva exactamente en el mismo ángulo", por lo tanto, equiangular . [5]
Gnomon dorado
Estrechamente relacionado con el triángulo áureo está el gnomon áureo , que es el triángulo isósceles en el que la relación entre las longitudes de los lados iguales y la longitud de la base es recíproca. de la proporción áurea .
"El triángulo dorado tiene una relación entre la longitud de la base y la longitud del lado igual a la sección áurea φ, mientras que el gnomon dorado tiene la relación entre la longitud del lado y la longitud de la base igual a la sección áurea φ". [6]
Anglos
(Las distancias AX y CX son a ′ = a = φ, y la distancia AC es b ′ = φ², como se ve en la figura).
- El ángulo de vértice AXC es:
- Por tanto, el gnomon dorado es un triángulo obtuso (isósceles).
- Nota:
- Dado que los ángulos del triángulo AXC suman radianes, cada uno de los ángulos base CAX y ACX es:
- Nota:
- El gnomon dorado se identifica de forma única como un triángulo que tiene sus tres ángulos en la proporción 1: 1: 3 (36 °, 36 °, 108 °). Sus ángulos de base son de 36 ° cada uno, que es lo mismo que el vértice del triángulo dorado.
Bisecciones
- Al cortar uno de sus ángulos base en 2 ángulos iguales, un triángulo dorado se puede dividir en un triángulo dorado y un gnomon dorado.
- Al cortar su ángulo de vértice en 2 ángulos, uno es el doble del otro, un gnomon dorado se puede dividir en un triángulo dorado y un gnomon dorado.
- Un gnomon dorado y un triángulo dorado con sus lados iguales que coinciden en longitud, también se conocen como triángulos de Robinson obtuso y agudo. [3]
Azulejos
- Un triángulo dorado y dos gnomones dorados forman un pentágono regular . [7]
- Estos triángulos isósceles se pueden utilizar para producir mosaicos de Penrose . Los azulejos de Penrose están hechos de cometas y dardos. Una cometa está hecha de dos triángulos dorados y un dardo está hecho de dos gnomones.
Ver también
Referencias
- ↑ a b c Elam, Kimberly (2001). Geometría del diseño . Nueva York: Princeton Architectural Press. ISBN 1-56898-249-6.
- ^ Weisstein, Eric W. "Triángulo de oro" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 26 de diciembre de 2019 .
- ^ a b Enciclopedia de Tilings . 1970. Archivado desde el original el 24 de mayo de 2009.
- ^ Huntley, HE (1970). La proporción divina: un estudio en belleza matemática . Nueva York: Dover Publications Inc. ISBN 0-486-22254-3.
- ^ Livio, Mario (2002). La proporción áurea: la historia de Phi, el número más asombroso del mundo . Nueva York: Broadway Books. ISBN 0-7679-0815-5.
- ^ Loeb, Arthur (1992). Conceptos e imágenes: Matemática visual . Boston: Birkhäuser Boston. pag. 180. ISBN 0-8176-3620-X.
- ^ Weisstein, Eric W. "Golden Gnomon" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 26 de diciembre de 2019 .
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Triángulo de oro" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Gnomon dorado" . MathWorld .
- Triángulos de Robinson en Tilings Encyclopedia
- Triángulo dorado según Euclides
- La extraordinaria reciprocidad de los triángulos dorados en Tartapelago por Giorgio Pietrocola