Cuadrar el círculo es un problema propuesto por los antiguos geómetras . Es el desafío de construir un cuadrado con la misma área que un círculo dado usando solo un número finito de pasos con brújula y regla . La dificultad del problema planteaba la cuestión de si axiomas específicos de la geometría euclidiana sobre la existencia de líneas y círculos implicaban la existencia de tal cuadrado.
En 1882, se demostró que la tarea era imposible, como consecuencia del teorema de Lindemann-Weierstrass que prueba que pi ( π ) es un número irracional trascendental , más que algebraico; es decir, no es la raíz de ningún polinomio con coeficientes racionales . Se sabía desde hace décadas que la construcción sería imposible si π fuera trascendental, pero π no se demostró trascendental hasta 1882. En cambio, la cuadratura aproximada a cualquier precisión no perfecta dada es posible en un número finito de pasos, ya son números racionales arbitrariamente cercanos a π .
La expresión "cuadrar el círculo" se usa a veces como una metáfora para tratar de hacer lo imposible. [1]
El término cuadratura del círculo a veces se usa para significar lo mismo que elevar el círculo al cuadrado, pero también puede referirse a métodos aproximados o numéricos para encontrar el área de un círculo .
Historia
Los matemáticos babilonios ya conocían métodos para aproximar el área de un círculo dado con un cuadrado, que se puede considerar como un problema precursor de la cuadratura del círculo . El papiro egipcio de Rhind de 1800 a. C. da el área de un círculo como64/81 d 2 , donde d es el diámetro del círculo. En términos modernos, esto equivale a aproximar π como 256/81(aproximadamente 3.1605), un número que aparece en el antiguo Papiro Matemático de Moscú y se usa para aproximaciones de volumen (es decir, hekat ). Los matemáticos indios también encontraron un método aproximado, aunque menos preciso, documentado en los Shulba Sutras . [2] Arquímedes demostró la fórmula para el área de un círculo ( A = π r 2 , donde r es el radio del círculo) y demostró que el valor de π se encuentra entre 3+1/7 (aproximadamente 3,1429) y 3+10/71(aproximadamente 3.1408). Consulte Aproximaciones numéricas de π para obtener más información sobre la historia.
El primer griego conocido que se asoció con el problema fue Anaxágoras , quien trabajó en él mientras estaba en prisión. Hipócrates de Quíos cuadró ciertos lunes , con la esperanza de que esto condujera a una solución: ver Luna de Hipócrates . Antiphon the Sophist creía que inscribir polígonos regulares dentro de un círculo y duplicar el número de lados eventualmente llenaría el área del círculo, y dado que un polígono se puede cuadrar, significa que el círculo se puede cuadrar. Incluso entonces hubo escépticos: Eudemus argumentó que las magnitudes no se pueden dividir sin límite, por lo que el área del círculo nunca se agotará. [3] El problema fue siquiera se menciona en Aristófanes s' jugar los pájaros .
Se cree que Oenopides fue el primer griego que requirió una solución plana (es decir, usar solo un compás y una regla). James Gregory intentó una prueba de su imposibilidad en Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (El verdadero cuadrado del círculo y de la hipérbola) en 1667. [4] Aunque su demostración era defectuosa, fue el primer artículo que intentó resolver el problema utilizando propiedades algebraicas de π . No fue hasta 1882 que Ferdinand von Lindemann demostró rigurosamente su imposibilidad.
El matemático, lógico y escritor de la época victoriana Charles Lutwidge Dodgson, más conocido por el seudónimo de Lewis Carroll , también expresó interés en desacreditar las teorías ilógicas de la cuadratura del círculo. En una de las entradas de su diario de 1855, Dodgson enumeró los libros que esperaba escribir, incluido uno llamado "Hechos sencillos para los cuadradores de círculos". En la introducción a "A New Theory of Parallels", Dodgson relató un intento de demostrar errores lógicos a un par de cuadradores de círculos, afirmando: [6]
El primero de estos dos visionarios equivocados me llenó de una gran ambición de hacer una hazaña que nunca había escuchado como realizada por el hombre, a saber, ¡convencer a un círculo más cuadrado de su error! El valor que mi amigo seleccionó para Pi fue 3.2: el enorme error me tentó con la idea de que se podría demostrar fácilmente que ES un error. Se intercambiaron más de una veintena de cartas antes de que me convenciera tristemente de que no tenía ninguna posibilidad.
Una ridiculización de la cuadratura circular aparece en A Budget of Paradoxes de Augustus de Morgan , publicado póstumamente por su viuda en 1872. Habiendo publicado originalmente la obra como una serie de artículos en el Athenæum , la estaba revisando para su publicación en el momento de su publicación. muerte. La cuadratura circular fue muy popular en el siglo XIX, pero casi nadie se entrega hoy en día y se cree que el trabajo de De Morgan ayudó a lograrlo. [7]
Los otros dos problemas clásicos de la antigüedad, famosos por su imposibilidad, eran doblar el cubo y trisecar el ángulo . Al igual que cuadrar el círculo, estos no pueden resolverse con métodos de brújula y regla no graduada. Sin embargo, a diferencia de cuadrar el círculo, se pueden resolver con el método de construcción del origami , un poco más poderoso , como se describe en las matemáticas del plegado de papel .
Imposibilidad
La solución del problema de cuadrar el círculo con compás y regla requiere la construcción del número √ π . Si √ π es construible , de las construcciones estándar se deduce que π también sería construible. En 1837, Pierre Wantzel demostró que las longitudes que se podían construir con compás y regla debían ser soluciones de ciertas ecuaciones polinomiales con coeficientes racionales. [8] [9] Por lo tanto, las longitudes construibles deben ser números algebraicos . Si el problema de la cuadratura del círculo pudiera resolverse usando solo brújula y regla, entonces π tendría que ser un número algebraico. Johann Heinrich Lambert conjeturó que π no era algebraico, es decir, un número trascendental , en 1761. [10] Lo hizo en el mismo artículo en el que demostró su irracionalidad , incluso antes de que se demostrara la existencia general de los números trascendentales. No fue hasta 1882 que Ferdinand von Lindemann demostró la trascendencia de π y así demostró la imposibilidad de esta construcción. [11]
La trascendencia de π implica la imposibilidad de "rodear" exactamente el cuadrado, así como de cuadrar el círculo.
Es posible construir un cuadrado con un área arbitrariamente cercana a la de un círculo dado. Si se usa un número racional como una aproximación de π , entonces es posible elevar el círculo al cuadrado, dependiendo de los valores elegidos. Sin embargo, esto es solo una aproximación y no cumple con las limitaciones de las reglas antiguas para resolver el problema. Varios matemáticos han demostrado procedimientos viables basados en una variedad de aproximaciones.
Doblar las reglas introduciendo una herramienta suplementaria, permitiendo un número infinito de operaciones de compás y regla no graduada o realizando las operaciones en ciertas geometrías no euclidianas también hace posible cuadrar el círculo en cierto sentido. Por ejemplo, la cuadratriz de Hipias proporciona los medios para cuadrar el círculo y también para trisecar un ángulo arbitrario , al igual que la espiral de Arquímedes . [12] Aunque el círculo no se puede cuadrar en el espacio euclidiano , a veces puede estar en geometría hiperbólica bajo interpretaciones adecuadas de los términos. [13] [14] Como no hay cuadrados en el plano hiperbólico, su papel debe ser tomado por cuadriláteros regulares , es decir cuadriláteros con todos los lados congruentes y todos los ángulos congruentes (pero estos ángulos son estrictamente más pequeños que los ángulos rectos). Existen, en el plano hiperbólico, (contablemente) infinitos pares de círculos construibles y cuadriláteros regulares construibles de igual área, que, sin embargo, se construyen simultáneamente. No existe un método para comenzar con un cuadrilátero regular y construir el círculo de igual área, y no existe un método para comenzar con un círculo y construir un cuadrilátero regular de igual área (incluso cuando el círculo tiene un radio lo suficientemente pequeño como para que un cuadrilátero regular de igual superficie existe).
Construcciones aproximadas modernas
Aunque cuadrar el círculo con perfecta precisión es un problema imposible usando solo el compás y la regla no graduada, se pueden dar aproximaciones para cuadrar el círculo construyendo longitudes cercanas a π . Solo se necesita un conocimiento mínimo de geometría elemental para convertir cualquier aproximación racional dada de π en una construcción correspondiente de compás y regla , pero las construcciones hechas de esta manera tienden a ser muy largas en comparación con la precisión que logran. Después de que se demostró que el problema exacto no tenía solución, algunos matemáticos aplicaron su ingenio para encontrar elegantes aproximaciones a la cuadratura del círculo, definidas de manera tosca e informal como construcciones que son particularmente simples entre otras construcciones imaginables que dan una precisión similar.
Construcción de Kochański
Una de las primeras aproximaciones históricas es la aproximación de Kochański que diverge de π solo en el quinto lugar decimal. Era muy preciso para el momento de su descubrimiento (1685). [15]
En el diagrama de la izquierda
Construcción de Jacob de Gelder
En 1849 se publicó una construcción elegante y sencilla de Jacob de Gelder (1765-1848) en el Archivo de Grünert . Eso fue 64 años antes que la construcción comparable de Ramanujan. [16] Se basa en la aproximación
Este valor tiene una precisión de seis decimales y se conoce en China desde el siglo V como fracción de Zu Chongzhi , y en Europa desde el siglo XVII.
Gelder no construyó el lado del cuadrado; fue suficiente para él encontrar el siguiente valor
- .
La ilustración opuesta, descrita a continuación, muestra la construcción de Jacob de Gelder con continuación.
Dibuje dos líneas centrales mutuamente perpendiculares de un círculo con radio CD = 1 y determine los puntos de intersección A y B. Coloque el segmento de línea CE =fijo y conecte E a A. Determine en AE y de A el segmento de línea AF =. Dibuje FG paralelo a CD y conecte E con G. Dibuje FH paralelo a EG , luego AH =Determine BJ = CB y posteriormente JK = AH . Divida a la mitad AK en L y use el teorema de Thales alrededor de L desde A, lo que da como resultado el punto de intersección M. El segmento de línea BM es la raíz cuadrada de AK y, por lo tanto, la longitud del lado de la plaza buscada con casi la misma área.
Ejemplos para ilustrar los errores:
- En un círculo de radio r = 100 km, el error de la longitud del lado a ≈ 7.5 mm
- En el caso de un círculo con radio r = 1 m, el error del área A ≈ 0.3 mm 2
Construcción de Hobson
Entre las construcciones aproximadas modernas se encontraba una de EW Hobson en 1913. [16] Esta fue una construcción bastante precisa que se basó en la construcción del valor aproximado de 3,14164079 ..., que tiene una precisión de tres decimales (es decir, difiere de π por acerca de4,8 × 10 −5 ).
- "Nos encontramos con que la GH = r . 1 . 77246 ..., y desde = 1 . 77245 vemos que GH es mayor que el lado del cuadrado cuya área es igual a la del círculo en menos de doscientas milésimas del radio ".
Hobson no menciona la fórmula para la aproximación de π en su construcción. La ilustración de arriba muestra la construcción de Hobson con continuación.
Construcciones de Ramanujan
El matemático indio Srinivasa Ramanujan en 1913, [17] [18] Carl Olds en 1963, Martin Gardner en 1966 y Benjamin Bold en 1982 dieron construcciones geométricas para
que tiene una precisión de seis lugares decimales de π .
En 1914, Ramanujan dio una construcción de regla y compás que era equivalente a tomar el valor aproximado de π como
dando ocho lugares decimales de π . [19] Describe su construcción hasta el segmento de línea OS de la siguiente manera. [20]
"Sea AB (figura 2) el diámetro de un círculo cuyo centro es O. Biseca el arco ACB en C y triseca AO en T. Únete a BC y córtale CM y MN iguales a AT. Únete a AM y AN y corte de este último AP igual a AM. A través de P dibuje PQ paralelo a MN y se encuentre con AM en Q. Únase a OQ y a través de T dibuje TR, paralelo a OQ y se encuentre con AQ en R. Dibuje AS perpendicular a AO e igual a AR, y unirse a OS. Entonces, la media proporcional entre OS y OB será casi igual a un sexto de la circunferencia, siendo el error menos de un doceavo de pulgada cuando el diámetro es de 8000 millas de largo ".
En esta cuadratura, Ramanujan no construyó la longitud del lado del cuadrado, fue suficiente para él mostrar el segmento de línea OS . En la siguiente continuación de la construcción, el segmento de línea OS se utiliza junto con el segmento de línea OB para representar las proporcionales medias (segmento de línea roja OE ).
Continuación de la construcción hasta la longitud deseada del lado a del cuadrado:
Extiende AB más allá de A y bate el arco circular b 1 alrededor de O con radio OS , lo que da como resultado S ′. Biseca el segmento de línea BS ′ en D y dibuja el semicírculo b 2 sobre D. Dibuja una línea recta desde O a través de C hasta el semicírculo b 2 , corta b 2 en E. El segmento de línea OE es la media proporcional entre OS ′ y OB , también llamado media geométrica . Extienda el segmento de línea EO más allá de O y transfiera EO dos veces más, resulta F y A 1 , y por lo tanto la longitud del segmento de línea EA1 con el valor de aproximación descrito anteriormente de π , la media circunferencia del círculo. Biseca el segmento de línea EA 1 en G y dibuja el semicírculo b 3 sobre G. Transfiere la distancia OB de A 1 al segmento de línea EA 1 , da como resultado H. Crea una vertical desde H hasta el semicírculo b 3 en EA 1 , resulta B 1 . Conecte A 1 con B 1 , así se construye el lado buscado a del cuadrado A 1 B 1 C 1 D 1 , que tiene casi la misma área que el círculo dado.
Ejemplos para ilustrar los errores:
- En un círculo de radio r = 10,000 km, el error de la longitud del lado a ≈ −2.8 mm
- En el caso de un círculo con radio r = 10 m, el error del área A ≈ −0,1 mm 2
Construcción usando la proporción áurea
- En 1991, Robert Dixon dio una construcción para
- dónde es la proporción áurea . [21] Tres lugares decimales son iguales a los de π .
- Si el radio y el lado de la plaza
- luego, la segunda fórmula expandida muestra la secuencia de pasos para una construcción alternativa (vea la siguiente ilustración). Cuatro lugares decimales son iguales a los de √ π .
Cuadratura o cuadratura como integración
Encontrar el área bajo una curva, conocida como integración en cálculo , o cuadratura en análisis numérico , se conocía como cuadrado antes de la invención del cálculo. Dado que se desconocían las técnicas de cálculo, en general se presumía que la cuadratura debía realizarse mediante construcciones geométricas, es decir, mediante compás y regla. Por ejemplo, Newton escribió a Oldenburg en 1676: "Creo que a M. Leibnitz no le desagradará el teorema del principio de mi letra, pág. 4 para cuadrar líneas curvas geométricamente" (énfasis añadido). [22] Después de que Newton y Leibniz inventaron el cálculo, todavía se referían a este problema de integración como cuadrar una curva.
Reclamaciones de cuadratura de círculos
Conexión con el problema de la longitud
La prueba matemática de que la cuadratura del círculo es imposible usando solo el compás y la regla no ha demostrado ser un obstáculo para las muchas personas que han invertido años en este problema de todos modos. Haber cuadrado el círculo es una famosa afirmación de manivela . ( Véase también pseudomatemáticas .) En su vejez, el filósofo inglés Thomas Hobbes se convenció a sí mismo de que había logrado cuadrar el círculo, afirmación que fue refutada por John Wallis como parte de la controversia Hobbes-Wallis . [23] [24]
Durante los siglos XVIII y XIX, la noción de que el problema de cuadrar el círculo estaba relacionado de alguna manera con el problema de la longitud parece haber prevalecido entre los aspirantes a cuadrantes del círculo. Usando "ciclómetro" para cuadratura de círculo, Augustus de Morgan escribió en 1872:
Montucla dice, hablando de Francia, que encuentra que prevalecen tres nociones entre los ciclómetros: 1. Que se ofrece una gran recompensa por el éxito; 2. Que el problema de la longitud depende de ese éxito; 3. Que la solución es el gran fin y objeto de la geometría. Las mismas tres nociones prevalecen igualmente entre la misma clase en Inglaterra. El gobierno de ninguno de los dos países ha ofrecido recompensa alguna. [25]
Aunque de 1714 a 1828 el gobierno británico patrocinó un premio de 20.000 libras esterlinas por encontrar una solución al problema de la longitud, no está claro exactamente por qué se hizo la conexión con la cuadratura del círculo; especialmente porque a finales de la década de 1760 se habían descubierto dos métodos no geométricos (el método astronómico de distancias lunares y el cronómetro mecánico ). De Morgan continúa diciendo que "[e] l problema de longitud no depende de ninguna manera de una solución perfecta; las aproximaciones existentes son suficientes para un punto de precisión mucho más allá de lo que se puede desear". En su libro, de Morgan también menciona haber recibido muchas cartas amenazadoras de los aspirantes a cuadrar círculos, acusándolo de tratar de "estafarlos de su premio".
Otras afirmaciones modernas
Incluso después de que se demostró que era imposible, en 1894, el matemático aficionado Edwin J. Goodwin afirmó que había desarrollado un método para cuadrar el círculo. La técnica que desarrolló no cuadró con precisión el círculo y proporcionó un área incorrecta del círculo que esencialmente redefinió pi como igual a 3,2. Luego, Goodwin propuso el Indiana Pi Bill en la legislatura del estado de Indiana que le permitía al estado usar su método en la educación sin pagarle regalías. El proyecto de ley fue aprobado sin objeciones en la cámara estatal, pero el proyecto de ley fue presentado y nunca votado en el Senado, en medio de las crecientes burlas de la prensa. [26]
El maniático matemático Carl Theodore Heisel también afirmó haber cuadriculado el círculo en su libro de 1934, "¡Mirad!: El gran problema ya no está sin resolver: el círculo al cuadrado más allá de la refutación". [27] Paul Halmos se refirió al libro como un "libro de manivela clásico". [28]
En 1851, John Parker publicó un libro Quadrature of the Circle en el que afirmaba haber cuadrado el círculo. Su método en realidad produjo una aproximación de π con una precisión de seis dígitos. [29] [30] [31]
En literatura
El problema de la cuadratura del círculo ha sido mencionado por poetas como Dante y Alexander Pope , con variados significados metafóricos . Su uso literario se remonta al menos al 414 a. C., cuando se representó por primera vez la obra Los pájaros de Aristófanes . En él, el personaje Metón de Atenas menciona la cuadratura del círculo, posiblemente para indicar la naturaleza paradójica de su ciudad utópica. [32]
El paraíso de Dante , canto XXXIII, líneas 133-135, contiene los versos:
Como el geómetra, su mente aplica
Para cuadrar el círculo, ni con todo su ingenio
Encuentra la fórmula correcta, sin embargo lo intenta
Para Dante, cuadrar el círculo representa una tarea más allá de la comprensión humana, que compara con su propia incapacidad para comprender el Paraíso. [33]
En 1742, cuando Alexander Pope publicó el cuarto libro de su Dunciad , los intentos de cuadratura circular se habían convertido en "salvajes e infructuosos": [30]
Mad Mathesis sola estaba libre,
Demasiado loca para que meras cadenas materiales se unieran,
Ahora al espacio puro levanta su mirada extática,
Ahora, corriendo alrededor del círculo, lo encuentra cuadrado.
Del mismo modo, la ópera cómica de Gilbert y Sullivan Princess Ida presenta una canción que enumera satíricamente los objetivos imposibles de la universidad femenina dirigida por el personaje principal, como encontrar el movimiento perpetuo . Uno de estos objetivos es "Y el círculo: lo cuadrarán / Algún buen día". [34]
Se ha dicho que la sestina , una forma poética utilizada por primera vez en el siglo XII por Arnaut Daniel , cuadra el círculo en su uso de un número cuadrado de líneas (seis estrofas de seis líneas cada una) con un esquema circular de seis palabras repetidas. Spanos (1978) escribe que esta forma invoca un significado simbólico en el que el círculo representa el cielo y el cuadrado representa la tierra. [35] Una metáfora similar se usó en "Squaring the Circle", una historia corta de 1908 de O. Henry , sobre una disputa familiar de larga duración. En el título de esta historia, el círculo representa el mundo natural, mientras que el cuadrado representa la ciudad, el mundo del hombre. [36]
En trabajos posteriores círculo-cuadradores como Leopold Bloom en James Joyce 'novela s Ulises y Abogado Paravant en Thomas Mann ' s La montaña mágica son vistos como tristemente engañados o como soñadores no mundanos, sin darse cuenta de su imposibilidad matemática y haciendo grandes planes para un resultado ellos nunca lograrán. [37] [38]
Ver también
- Para un problema relacionado más moderno, vea el problema de cuadratura de círculos de Tarski .
- La ardilla es una forma matemática con propiedades entre las de un cuadrado y las de un círculo.
Referencias
- ^ Ammer, Christine. "Cuadrar el círculo. Dictionary.com. El diccionario de modismos de American Heritage®" . Compañía Houghton Mifflin . Consultado el 16 de abril de 2012 .
- ^ O'Connor, John J. y Robertson, Edmund F. (2000). "Las Sulbasutras indias" . Archivo MacTutor History of Mathematics . Universidad de St Andrews.
- ^ Heath, Thomas (1981). Historia de las matemáticas griegas . Publicaciones de Courier Dover. ISBN 0-486-24074-6.
- ^ Gregory, James (1667). Vera Circuli et Hyperbolæ Quadratura ... [ La verdadera cuadratura del círculo y de la hipérbola ... ]. Padua: Giacomo Cadorino.Disponible en: ETH Bibliothek (Zürich, Suiza)
- ^ Cajori, Florian (1919). Una historia de las matemáticas (2ª ed.). Nueva York: The Macmillan Company. pag. 143 .
- ^ Gardner, Martin (1996). El universo en un pañuelo . Saltador. ISBN 0-387-94673-X.
- ^ Dudley, Underwood (1987). Un presupuesto de trisecciones . Springer-Verlag. págs. xi – xii. ISBN 0-387-96568-8.Reimpreso como The Trisectors .
- ^ Wantzel, L. (1837). "Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas" [Investigaciones para saber si un problema de geometría puede resolverse con regla y compás]. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (en francés). 2 : 366–372.
- ^ Cajori, Florian (1918). "Pierre Laurent Wantzel" . Toro. Amer. Matemáticas. Soc . 24 (7): 339–347. doi : 10.1090 / s0002-9904-1918-03088-7 . Señor 1560082 .
- ^ Lambert, Johann Heinrich (1761). "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités trascendentes circulaires et logarithmiques" [Memoria sobre algunas propiedades notables de cantidades circulares trascendentales y logarítmicas]. Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin (en francés) (publicado en 1768). 17 : 265–322.
- ^ Lindemann, F. (1882). "Über die Zahl π" [En el número π]. Mathematische Annalen (en alemán). 20 : 213–225. doi : 10.1007 / bf01446522 . S2CID 120469397 .
- ^ Boyer, Carl B .; Merzbach, Uta C. (11 de enero de 2011). Una historia de las matemáticas . John Wiley e hijos. ISBN 978-0-470-52548-7. OCLC 839010064 .
- ^ Jagy, William C. (1995). "Cuadrar círculos en el plano hiperbólico" (PDF) . Intelligencer matemático . 17 (2): 31–36. doi : 10.1007 / BF03024895 . S2CID 120481094 .
- ^ Greenberg, Marvin Jay (2008). Geometrías euclidianas y no euclidianas (Cuarta ed.). WH Freeman. págs. 520–528. ISBN 978-0-7167-9948-1.
- ^ Weisstein, Eric W. "Aproximación de Kochanski" . MathWorld .
- ^ a b Hobson, Ernest William (1913). Cuadrando el círculo: una historia del problema . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 34 –35.
- ^ Wolfram, Stephen . "¿Quién era Ramanujan?" .Ver también LIBRO MANUSCRITO 1 DE SRINIVASA RAMANUJAN página 54 Ambos archivos fueron recuperados el 23 de junio de 2016
- ^ Castellanos, Dario (abril de 1988). "El omnipresente π". Revista de Matemáticas . 61 (2): 67–98. doi : 10.1080 / 0025570X.1988.11977350 . ISSN 0025-570X .
- ^ SA Ramanujan: Ecuaciones modulares y aproximaciones a π En: Quarterly Journal of Mathematics. 12. Otra aproximación curiosa a π es , 43 , (1914), S. 350–372. Listado en: Obras publicadas de Srinivasa Ramanujan
- ^ SA Ramanujan: Ecuaciones modulares y aproximaciones a π En: Quarterly Journal of Mathematics. 12. Otra aproximación curiosa a π es ... Fig. 2 , 44 , (1914), S. 350–372. Listado en: Obras publicadas de Srinivasa Ramanujan
- ^ Dixon, Robert A. (1 de enero de 1991). Mathographics . Corporación de mensajería. ISBN 978-0-486-26639-8. OCLC 22505850 .
- ^ Cotes, Roger (1850). Correspondencia de Sir Isaac Newton y el profesor Cotes: incluidas cartas de otros hombres eminentes .
- ^ Boyd, Andrew (2008). "HOBBES Y WALLIS" . Episodio 2372 . Los motores de nuestro ingenio . Consultado el 14 de noviembre de 2020 .
- ^ Bird, Alexander (1996). "Cuadrando el círculo: Hobbes en filosofía y geometría" . Revista de Historia de las Ideas . 57 (2): 217–231.
- ^ de Morgan, Augustus (1872). Un presupuesto de paradojas . pag. 96.
- ^ Numberphile (12 de marzo de 2013), Cómo Pi casi se cambió a 3.2 - Numberphile
- ^ Heisel, Carl Theodore (1934). ¡Mirad! : el gran problema del círculo al cuadrado más allá de la refutación ya no está sin resolver . Heisel.
- ^ Paul R. Halmos (1970). "Cómo escribir matemáticas" . L'Enseignement mathématique . 16 (2): 123-152.- PDF
- ^ Beckmann, Petr (2015). Una historia de Pi . Prensa de San Martín. pag. 178. ISBN 9781466887169.
- ^ a b Schepler, Herman C. (1950). "La cronología de pi". Revista de Matemáticas . 23 (3): 165-170, 216-228, 279-283. doi : 10.2307 / 3029284 . JSTOR 3029832 . Señor 0037596 .
- ^ Abeles, Francine F. (1993). "Enfoque geométrico de Charles L. Dodgson a las relaciones arcangentes para pi" . Historia Mathematica . 20 (2): 151-159. doi : 10.1006 / hmat.1993.1013 . Señor 1221681 .
- ^ Amati, Matthew (2010). "Ciudad-estrella de Meton: geometría y utopía en los pájaros de Aristófanes ". El diario clásico . 105 (3): 213-222. doi : 10.5184 / clásicoj.105.3.213 . JSTOR 10.5184 / clásicoj.105.3.213 .
- ^ Herzman, Ronald B .; Towsley, Gary B. (1994). "Cuadrando el círculo: Paradiso 33 y la poética de la geometría". Traditio . 49 : 95-125. doi : 10.1017 / S0362152900013015 . JSTOR 27831895 .
- ^ Dolid, William A. (1980). "Vivie Warren y los Tripos". La revisión de Shaw . 23 (2): 52–56. JSTOR 40682600 .Dolid contrasta a Vivie Warren, una estudiante ficticia de matemáticas en Mrs. Warren's Profession de George Bernard Shaw , con la sátira de las universitarias presentada por Gilbert y Sullivan. Escribe que "Vivie, naturalmente, sabía que era mejor no intentar cuadrar círculos".
- ^ Spanos, Margaret (1978). "La Sestina: una exploración de la dinámica de la estructura poética". Espéculo . 53 (3): 545–557. doi : 10.2307 / 2855144 . JSTOR 2855144 .
- ^ Bloom, Harold (1987). Literatura estadounidense del siglo XX . Editores de Chelsea House. pag. 1848. ISBN 9780877548034.
Del mismo modo, la historia "Cuadrando el círculo" está impregnada de la imagen integradora: la naturaleza es un círculo, la ciudad un cuadrado.
- ^ Pendrick, Gerard (1994). "Dos notas sobre" Ulises " ". James Joyce Quarterly . 32 (1): 105–107. JSTOR 25473619 .
- ^ Goggin, Joyce (1997). El gran negocio: los juegos de cartas en la ficción del siglo XX (PhD). Universidad de Montreal. pag. 196.
enlaces externos
- Medios relacionados con Cuadrar el círculo en Wikimedia Commons
- Cuadrando el círculo en el archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas
- Cuadrando el círculo al cortar el nudo
- Circle Squaring en MathWorld , incluye información sobre procedimientos basados en varias aproximaciones de pi
- " Cuadrar el círculo " en " Convergencia "
- La cuadratura del círculo y los lunes de Hipócrates en convergencia
- Cómo desenrollar un Circle Pi con una precisión de ocho decimales, usando regla y compás.
- La cuadratura del círculo y otras imposibilidades , conferencia de Robin Wilson , en Gresham College , 16 de enero de 2008 (disponible para descargar como archivo de texto, audio o video).
- Grime, James. "Cuadrando el círculo" . Numberphile . Brady Haran .
- "2000 años sin resolver: ¿Por qué es imposible doblar cubos y cuadrar círculos?" por Burkard Polster