Las aproximaciones para la constante matemática pi ( π ) en la historia de las matemáticas alcanzaron una precisión dentro del 0.04% del valor real antes del comienzo de la Era Común ( Arquímedes ). En matemáticas chinas , esto se mejoró a aproximaciones correctas a lo que corresponde a aproximadamente siete dígitos decimales en el siglo quinto.
No se hicieron más progresos hasta el siglo XV (gracias a los esfuerzos de Jamshīd al-Kāshī ). Los primeros matemáticos modernos alcanzaron una precisión de 35 dígitos a principios del siglo XVII ( Ludolph van Ceulen ) y 126 dígitos a partir del siglo XIX ( Jurij Vega ), superando la precisión requerida para cualquier aplicación concebible fuera de las matemáticas puras.
El registro de aproximación manual de π lo tiene William Shanks , quien calculó 527 dígitos correctamente en los años anteriores a 1873. Desde mediados del siglo XX, la aproximación de π ha sido la tarea de las computadoras digitales electrónicas (para una explicación integral, ver Cronología del cálculo de π ). En marzo de 2019, Emma Haruka Iwao , una empleada de Google de Japón , calculó un nuevo récord mundial de 31 billones de dígitos con la ayuda del servicio de computación en la nube de la compañía . [1] El récord fue superado el 29 de enero de 2020 por Timothy Mullican, [2] quien calculó 50 billones de dígitos utilizando equipos de servidores empresariales retirados y el software y-cruncher. [3]
Historia temprana
Las aproximaciones más conocidas de π que datan de antes de la Era Común tenían una precisión de dos decimales; esto se mejoró en matemáticas chinas en particular a mediados del primer milenio, con una precisión de siete lugares decimales. Después de esto, no se hicieron más avances hasta finales del período medieval.
Algunos egiptólogos [4] han afirmado que los antiguos egipcios usaban una aproximación de π como 22 ⁄ 7 = 3,142857 (aproximadamente un 0,04% demasiado alto) desde el Reino Antiguo . [5] Esta afirmación ha recibido escepticismo. [6] [7]
Las matemáticas babilónicas generalmente se aproximaban de π a 3, suficiente para los proyectos arquitectónicos de la época (en particular, también se refleja en la descripción del Templo de Salomón en la Biblia hebrea ). [8] Los babilonios sabían que esto era una aproximación, y una tablilla matemática del Antiguo Babilónico excavada cerca de Susa en 1936 (fechada entre los siglos XIX y XVII a. C.) da una mejor aproximación de π como 25 ⁄ 8 = 3,125, aproximadamente 0,528 por ciento por debajo del valor exacto. [9] [10] [11] [12]
Aproximadamente al mismo tiempo, el Papiro Matemático Egipcio Rhind (fechado en el Segundo Período Intermedio , c. 1600 a. C., aunque se dice que es una copia de un texto más antiguo del Reino Medio ) implica una aproximación de π como 256 ⁄ 81 ≈ 3,16 (con una precisión de 0,6 por ciento) calculando el área de un círculo mediante la aproximación con el octágono . [6] [13]
Los cálculos astronómicos en el Shatapatha Brahmana (c. Siglo VI a. C.) utilizan una aproximación fraccionaria de339 ⁄ 108 ≈ 3.139. [14]
En el siglo III a. C., Arquímedes demostró las marcadas desigualdades 223 ⁄ 71 < π < 22 ⁄ 7 , por medio de 96 gones regulares(precisiones de 2 · 10 −4 y 4 · 10 −4 , respectivamente).
En el siglo II d.C., Ptolomeo usó el valor 377 ⁄ 120 , la primera aproximación conocida con una precisión de tres decimales (precisión 2 · 10 −5 ). [15]
El matemático chino Liu Hui en 263 EC calculó π entre3.141 024 y3.142 708 inscribiendo un 96-gon y 192-gon; el promedio de estos dos valores es3.141 866 (precisión 9 · 10 −5 ). También sugirió que 3.14 era una aproximación suficientemente buena para fines prácticos. También se le ha atribuido con frecuencia un resultado posterior y más preciso, π ≈ 3927 ⁄ 1250 = 3,1416 (precisión 2 · 10 −6 ), aunque algunos estudiosos creen que esto se debe al matemático chino posterior (siglo V) Zu Chongzhi . [16] Se sabe que Zu Chongzhi calculó π entre 3,1415926 y 3,1415927, que era correcto con siete decimales. Dio otras dos aproximaciones de π : π ≈ 22 ⁄ 7 y π ≈ 355 ⁄ 113 . La última fracción es la mejor aproximación racional posible de π utilizando menos de cinco dígitos decimales en el numerador y denominador. El resultado de Zu Chongzhi supera la precisión alcanzada en las matemáticas helenísticas y permanecería sin mejoras durante cerca de un milenio. [ cita requerida ]
En la India de la era Gupta (siglo VI), el matemático Aryabhata en su tratado astronómico Āryabhaṭīya calculó el valor de π con cinco cifras significativas π ≈ 62832 ⁄ 20000 = 3,1416. [17] [18] usándolo para calcular una aproximación de lacircunferenciade la Tierra . [19] Aryabhata declaró que su resultado "aproximadamente" ( āsanna "acercándose") dio la circunferencia de un círculo. Su comentarista del siglo XV Nilakantha Somayaji ( escuela de astronomía y matemáticas de Kerala ) ha argumentado que la palabra significa no solo que esto es una aproximación, sino que el valor es inconmensurable (irracional) . [20]
Edad media
En el siglo V d.C., π se conocía en aproximadamente siete dígitos en las matemáticas chinas y en aproximadamente cinco dígitos en las matemáticas indias. No se hicieron más progresos durante casi un milenio, hasta el siglo XIV, cuando el matemático y astrónomo indio Madhava de Sangamagrama , fundador de la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala , descubrió la serie infinita para π , ahora conocida como serie Madhava-Leibniz , [21] [22] y dio dos métodos para calcular el valor de π . Uno de estos métodos es obtener una serie que converge rápidamente transformando la serie infinita original de π . Al hacerlo, obtuvo la serie infinita
y usó los primeros 21 términos para calcular una aproximación de π correcta a 11 lugares decimales como3.141 592 653 59 .
El otro método que usó fue agregar un término restante a la serie original de π . Usó el término restante
en la expansión en serie infinita de π ⁄ 4 para mejorar la aproximación deπa 13 lugares decimales de precisión cuando n = 75.
Jamshīd al-Kāshī (Kāshānī), un astrónomo y matemático persa , calculó correctamente de 2 π a 9 dígitos sexagesimales en 1424. [23] Esta cifra equivale a 17 dígitos decimales como
que equivale a
Logró este nivel de precisión calculando el perímetro de un polígono regular con 3 × 2 28 lados. [24]
Siglos XVI al XIX
En la segunda mitad del siglo XVI, el matemático francés François Viète descubrió un producto infinito que convergía en π conocido como fórmula de Viète .
El matemático germano-holandés Ludolph van Ceulen ( alrededor de 1600) calculó los primeros 35 lugares decimales de π con un 2 62 -gon. Estaba tan orgulloso de este logro que los hizo inscribir en su lápida . [25]
En Cyclometricus (1621), Willebrord Snellius demostró que el perímetro del polígono inscrito converge en la circunferencia dos veces más rápido que el perímetro del polígono circunscrito correspondiente. Esto fue probado por Christiaan Huygens en 1654. Snellius pudo obtener siete dígitos de π de un polígono de 96 lados . [26]
En 1789, el matemático esloveno Jurij Vega calculó los primeros 140 decimales para π , de los cuales los primeros 126 eran correctos [27] y mantuvo el récord mundial durante 52 años hasta 1841, cuando William Rutherford calculó 208 decimales, de los cuales el primero 152 estaban en lo cierto. Vega mejoró la fórmula de John Machin a partir de 1706 y su método todavía se menciona hoy. [ cita requerida ]
La magnitud de tal precisión (152 lugares decimales) se puede poner en contexto por el hecho de que la circunferencia del objeto más grande conocido, el universo observable, se puede calcular a partir de su diámetro (93 mil millones de años luz ) con una precisión de menos de una longitud de Planck (a1.6162 × 10 −35 metros , la unidad de longitud más corta que tiene un significado real) usando π expresado con solo 62 lugares decimales. [28]
El matemático aficionado inglés William Shanks , un hombre de medios independientes, pasó más de 15 años calculando π con 607 decimales. Esto se logró en 1873, con los primeros 527 lugares correctos. [29] Calculaba nuevos dígitos toda la mañana y luego pasaba toda la tarde revisando su trabajo matutino. Esta fue la expansión más larga de π hasta el advenimiento de la computadora digital electrónica tres cuartos de siglo después. [ cita requerida ]
Siglos XX y XXI
En 1910, el matemático indio Srinivasa Ramanujan encontró varias series infinitas de π que convergen rápidamente , incluyendo
que calcula otros ocho lugares decimales de π con cada término de la serie. Sus series son ahora la base de los algoritmos más rápidos que se utilizan actualmente para calcular π . Véase también la serie Ramanujan – Sato .
Desde mediados del siglo XX en adelante, todos los cálculos de π se han realizado con la ayuda de calculadoras o computadoras .
En 1944, DF Ferguson, con la ayuda de una calculadora de escritorio mecánica , descubrió que William Shanks había cometido un error en el lugar decimal 528 y que todos los dígitos siguientes eran incorrectos.
En los primeros años de la computadora, una expansión de π a100 000 lugares decimales [30] : 78 fue calculado por el matemático de Maryland Daniel Shanks (sin relación con el mencionado William Shanks) y su equipo en el Laboratorio de Investigación Naval de los Estados Unidos en Washington, DC En 1961, Shanks y su equipo utilizaron dos diferentes series de potencias para calcular los dígitos de π . Por un lado, se sabía que cualquier error produciría un valor ligeramente alto, y por el otro, se sabía que cualquier error produciría un valor ligeramente bajo. Y, por lo tanto, siempre que las dos series produjeran los mismos dígitos, había una confianza muy alta de que eran correctas. Los primeros 100 265 dígitos de π se publicaron en 1962. [30] : 80-99 Los autores describieron lo que se necesitaría para calcular π con 1 millón de decimales y concluyeron que la tarea estaba más allá de la tecnología de ese día, pero sería posible en cinco a siete años. [30] : 78
En 1989, los hermanos Chudnovsky calcularon π en más de mil millones de lugares decimales en la supercomputadora IBM 3090 utilizando la siguiente variación de la serie infinita de π de Ramanujan :
Desde entonces, todos los registros se han logrado utilizando el algoritmo de Chudnovsky . En 1999, Yasumasa Kanada y su equipo en la Universidad de Tokio calcularon π a más de 200 mil millones de lugares decimales en la supercomputadora HITACHI SR8000 / MPP (128 nodos) usando otra variación de la serie infinita de π de Ramanujan . En noviembre de 2002, Yasumasa Kanada y un equipo de 9 personas más utilizaron el Hitachi SR8000 , una supercomputadora de 64 nodos con 1 terabyte de memoria principal, para calcular π a aproximadamente 1,24 billones de dígitos en unas 600 horas (25 días). En octubre de 2005, afirmaron haberlo calculado en 1,24 billones de lugares. [31]
En agosto de 2009, una supercomputadora japonesa llamada T2K Open Supercomputer duplicó con creces el récord anterior al calcular π a aproximadamente 2,6 billones de dígitos en aproximadamente 73 horas y 36 minutos.
En diciembre de 2009, Fabrice Bellard utilizó una computadora doméstica para calcular 2,7 billones de dígitos decimales de π . Los cálculos se realizaron en base 2 (binario), luego el resultado se convirtió a base 10 (decimal). Los pasos de cálculo, conversión y verificación tomaron un total de 131 días. [32]
En agosto de 2010, Shigeru Kondo usó el y-cruncher de Alexander Yee para calcular 5 billones de dígitos de π . Este fue el récord mundial para cualquier tipo de cálculo, pero significativamente se realizó en una computadora doméstica construida por Kondo. [33] El cálculo se realizó entre el 4 de mayo y el 3 de agosto, y las verificaciones primaria y secundaria tardaron 64 y 66 horas, respectivamente. [34]
En octubre de 2011, Shigeru Kondo rompió su propio récord al calcular diez billones (10 13 ) y cincuenta dígitos utilizando el mismo método pero con mejor hardware. [35] [36]
En diciembre de 2013, Kondo rompió su propio récord por segunda vez cuando calculó 12,1 billones de dígitos de π . [37]
En octubre de 2014, Sandon Van Ness, con el seudónimo de "houkouonchi", utilizó y-cruncher para calcular 13,3 billones de dígitos de π . [38]
En noviembre de 2016, Peter Trueb y sus patrocinadores calcularon en y-cruncher y verificaron completamente 22,4 billones de dígitos de π (22,459,157,718,361 ( π e × 10 12 )). [39] El cálculo tardó (con tres interrupciones) 105 días en completarse, [38] la limitación de una mayor expansión es principalmente el espacio de almacenamiento. [37]
En marzo de 2019, Emma Haruka Iwao, empleada de Google , calculó 31,4 billones de dígitos de pi utilizando máquinas y-cruncher y Google Cloud . Esto tardó 121 días en completarse. [40]
En enero de 2020, Timothy Mullican anunció el cálculo de 50 billones de dígitos durante 303 días. [41] [42]
Aproximaciones practicas
Dependiendo del propósito de un cálculo, π se puede aproximar usando fracciones para facilitar el cálculo. Las aproximaciones más notables son 22 ⁄ 7 ( error relativo de aproximadamente 4 · 10 −4 ) y 355 ⁄ 113 (error relativo de aproximadamente 8 · 10 −8 ). [43] [44] [45]
"Definiciones" no matemáticas de π
De alguna notabilidad son los textos legales o históricos que supuestamente "definen π " para tener algún valor racional, como el " Indiana Pi Bill " de 1897, que decía que "la relación entre el diámetro y la circunferencia es de cinco cuartos a cuatro" (que implicaría " π = 3.2 ") y un pasaje en la Biblia hebrea que implica que π = 3 .
Factura de Indiana
El llamado " Proyecto de Ley Indiana Pi " de 1897 se ha caracterizado a menudo como un intento de "legislar el valor del Pi". Más bien, el proyecto de ley trataba de una supuesta solución al problema de " cuadrar el círculo " geométricamente . [46]
El proyecto de ley casi fue aprobado por la Asamblea General de Indiana en los EE. UU., Y se ha afirmado que implica una serie de valores diferentes para π , aunque lo más cercano a afirmar explícitamente uno es la redacción "la relación entre el diámetro y la circunferencia es como cinco cuartos a cuatro ", lo que haría π = 16 ⁄ 5 = 3,2, una discrepancia de casi el 2 por ciento. Un profesor de matemáticas que estuvo presente el día en que el proyecto de ley fue presentado para su consideración en el Senado, después de su aprobación en la Cámara, ayudó a detener la aprobación del proyecto de ley en su segunda lectura, después de lo cual la asamblea lo ridiculizó a fondo antes de presentarlo indefinidamente.
Valor bíblico imputado
A veces se afirma que la Biblia hebrea implica que " π es igual a tres", según un pasaje de 1 Reyes 7:23 y 2 Crónicas 4: 2 que indica que la palangana redonda ubicada frente al templo en Jerusalén tiene un diámetro. de 10 codos y una circunferencia de 30 codos.
El tema se discute en el Talmud y en la literatura rabínica . [47] Entre las muchas explicaciones y comentarios se encuentran los siguientes:
- El rabino Nehemías explicó esto en su Mishnat ha-Middot (el texto hebreo más antiguo conocido sobre geometría , ca. 150 EC) diciendo que el diámetro se midió desde el borde exterior mientras que la circunferencia se midió a lo largo del borde interior . Esta interpretación implica un borde de aproximadamente 0,225 codos (o, asumiendo un "codo" de 18 pulgadas, unas 4 pulgadas), o un " palmo de palmas " y un tercio de grosor (cf. NKJV y NKJV ).
- Maimónides afirma (ca. 1168 d.C.) que π solo se puede conocer aproximadamente, por lo que el valor 3 se dio como lo suficientemente preciso para fines religiosos. Algunos [48] toman esto como la primera afirmación de que π es irracional.
- Otra explicación rabínica [¿ por quién? ] [ año necesario ] invoca gematria : En la NKJV, la palabra traducida como 'línea de medición' aparece en el texto hebreo escrito KAVEH קַוה, pero en otros lugares la palabra generalmente se escribe KAV קַו. La razón de los valores numéricos de estas grafías hebreas es 111 ⁄ 106 . Si el valor putativo de 3 se multiplica por esta relación, se obtiene 333 ⁄ 106 = 3.141509433 ... - dando 4 dígitos decimales correctos, que está dentro 1 ⁄ 10,000 del valor real de π .
Todavía hay cierto debate sobre este pasaje en la erudición bíblica. [ verificación fallida ] [49] [50] Muchas reconstrucciones de la palangana muestran un borde más ancho (o labio ensanchado) que se extiende varias pulgadas hacia afuera desde la propia taza para coincidir con la descripción dada en NKJV [51] En los versículos siguientes, el borde se describe como "un palmo de espesor; y el borde de la misma fue labrado como el borde de una copa, como la flor de un lirio: recibió y sostuvo tres mil baños" NKJV , lo que sugiere una forma que se puede abarcar con una cuerda más corta que la longitud total del borde, por ejemplo, una flor de Lilium o una taza de té .
Desarrollo de fórmulas eficientes
Aproximación de polígono a un círculo
Arquímedes, en su Medición de un círculo , creó el primer algoritmo para el cálculo de π basado en la idea de que el perímetro de cualquier polígono (convexo) inscrito en un círculo es menor que la circunferencia del círculo, que, a su vez, es menor que el perímetro de cualquier polígono circunscrito. Comenzó con hexágonos regulares inscritos y circunscritos, cuyos perímetros se determinan fácilmente. Luego muestra cómo calcular los perímetros de polígonos regulares de dos veces más lados que están inscritos y circunscritos alrededor del mismo círculo. Este es un procedimiento recursivo que se describiría hoy de la siguiente manera: Sean p k y P k los perímetros de polígonos regulares de k lados que están inscritos y circunscritos alrededor del mismo círculo, respectivamente. Luego,
Arquímedes usa esto para calcular sucesivamente P 12 , p 12 , P 24 , p 24 , P 48 , p 48 , P 96 y p 96 . [52] Utilizando estos últimos valores obtiene
No se sabe por qué Arquímedes se detuvo en un polígono de 96 lados; solo se necesita paciencia para ampliar los cálculos. Heron informa en su Métrica (alrededor del 60 d.C.) que Arquímedes continuó el cálculo en un libro ahora perdido, pero luego le atribuye un valor incorrecto. [53]
Arquímedes no usa trigonometría en este cálculo y la dificultad de aplicar el método radica en obtener buenas aproximaciones para las raíces cuadradas involucradas. La trigonometría, en forma de una tabla de longitudes de cuerdas en un círculo, probablemente fue utilizada por Claudio Ptolomeo de Alejandría para obtener el valor de π dado en el Almagesto (alrededor de 150 d. C.). [54]
Los avances en la aproximación de π (cuando se conocen los métodos) se realizaron aumentando el número de lados de los polígonos utilizados en el cálculo. Una mejora trigonométrica de Willebrord Snell (1621) obtiene mejores límites a partir de un par de límites obtenidos del método del polígono. Por lo tanto, se obtuvieron resultados más precisos a partir de polígonos con menos lados. [55] La fórmula de Viète , publicada por François Viète en 1593, fue derivada por Viète utilizando un método poligonal estrechamente relacionado, pero con áreas en lugar de perímetros de polígonos cuyo número de lados son potencias de dos. [56]
El último gran intento de calcular π mediante este método lo llevó a cabo Grienberger en 1630, quien calculó 39 lugares decimales de π utilizando el refinamiento de Snell. [55]
Fórmula similar a una máquina
Para cálculos rápidos, se pueden usar fórmulas como la de Machin :
junto con la expansión en serie de Taylor de la función arctan ( x ). Esta fórmula se verifica más fácilmente usando coordenadas polares de números complejos , produciendo:
({ x , y } = {239, 13 2 } es una solución de la ecuación de Pell x 2 −2 y 2 = −1.)
Las fórmulas de este tipo se conocen como fórmulas tipo Machin . La fórmula particular de Machin se usó en la era de las computadoras para calcular números récord de dígitos de π , [30] pero más recientemente también se han usado otras fórmulas similares.
Por ejemplo, Shanks y su equipo utilizaron la siguiente fórmula similar a Machin en 1961 para calcular los primeros 100.000 dígitos de π : [30]
y usaron otra fórmula similar a Machin,
como un cheque.
El récord de diciembre de 2002 de Yasumasa Kanada de la Universidad de Tokio era de 1.241.100.000.000 dígitos. Para esto se utilizaron las siguientes fórmulas tipo Machin:
K. Takano (1982).
FCM Størmer (1896).
Otras fórmulas clásicas
Otras fórmulas que se han utilizado para calcular estimaciones de π incluyen:
Liu Hui (ver también la fórmula de Viète ):
Madhava :
Euler :
Transformación de convergencia de Newton / Euler: [57]
donde (2 k + 1) !! denota el producto de los números enteros impares hasta 2 k + 1.
Ramanujan :
David Chudnovsky y Gregory Chudnovsky :
El trabajo de Ramanujan es la base del algoritmo de Chudnovsky , los algoritmos más rápidos utilizados, a partir del cambio de milenio, para calcular π .
Algoritmos modernos
Las expansiones decimales extremadamente largas de π se calculan típicamente con fórmulas iterativas como el algoritmo de Gauss-Legendre y el algoritmo de Borwein . Este último, encontrado en 1985 por Jonathan y Peter Borwein , converge extremadamente rápido:
Para y
dónde , la secuencia converge trimestralmente a π , dando aproximadamente 100 dígitos en tres pasos y más de un billón de dígitos después de 20 pasos. Sin embargo, se sabe que usar un algoritmo como el de Chudnovsky (que converge linealmente) es más rápido que estas fórmulas iterativas.
El primer millón de dígitos de π y 1 ⁄ π están disponibles en Project Gutenberg (consulte los enlaces externos a continuación). Un antiguo récord de cálculo (diciembre de 2002) de Yasumasa Kanada de la Universidad de Tokio era de 1,24 billones de dígitos, que se calcularon en septiembre de 2002 en una supercomputadora Hitachi de 64 nodoscon 1 terabyte de memoria principal, que realiza 2 billones de operaciones por segundo, casi dos veces más que la computadora utilizada para el récord anterior (206 mil millones de dígitos). Para esto se utilizaron las siguientes fórmulas tipo Machin:
- ( Kikuo Takano (1982))
- ( F. C. M. Størmer (1896)).
Estas aproximaciones tienen tantos dígitos que ya no tienen ningún uso práctico, excepto para probar nuevas supercomputadoras. [58] Propiedades como la normalidad potencial de π siempre dependerán de la cadena infinita de dígitos al final, no de ningún cálculo finito.
Aproximaciones diversas
Históricamente, la base 60 se utilizó para los cálculos. En esta base, π se puede aproximar a ocho cifras significativas (decimales) con el número 3; 8,29,44 60 , que es
(El siguiente dígito sexagesimal es 0, lo que hace que el truncamiento produzca una aproximación relativamente buena).
Además, las siguientes expresiones se pueden utilizar para estimar π :
- con precisión de tres dígitos:
- con precisión de tres dígitos:
- Karl Popper conjeturó que Platón conocía esta expresión, que creía que era exactamente π , y que esto es responsable de parte de la confianza de Platón en la omnicompetencia de la geometría matemática, y la repetida discusión de Platón sobre triángulos rectángulos especiales que son isósceles o mitades de triángulos equiláteros.
- con precisión de cuatro dígitos:
- [59]
- con una precisión de cuatro dígitos (o cinco cifras significativas):
- [60]
- una aproximación de Ramanujan , con una precisión de 4 dígitos (o cinco cifras significativas):
- con precisión de cinco dígitos:
- con una precisión de seis dígitos [2] :
- con precisión de siete dígitos:
- con precisión de nueve dígitos:
- Esto es de Ramanujan , quien afirmó que la Diosa de Namagiri se le apareció en un sueño y le dijo el verdadero valor de π . [61]
- con una precisión de diez dígitos:
- con una precisión de diez dígitos (u once cifras significativas):
- Esta curiosa aproximación sigue a la observación de que la 193a potencia de 1 / π produce la secuencia 1122211125 ... Reemplazando 5 por 2 completa la simetría sin reducir los dígitos correctos de π , mientras que al insertar un punto decimal central fija notablemente la magnitud acompañante en 10 100 . [62]
- con precisión de 18 dígitos:
- [63]
- Esto se basa en el discriminante fundamental d = 3 (89) = 267 que tiene el número de clase h (- d ) = 2 que explica los números algebraicos de grado 2. El radical central es 5 3 más que la unidad fundamentallo que da la solución más pequeña { x , y } = {500, 53} a la ecuación de Pell x 2 - 89 y 2 = −1.
- exacto a 30 lugares decimales:
- Derivado de la cercanía de la constante de Ramanujan al entero 640320³ + 744. Esto no admite generalizaciones obvias en los números enteros, porque solo hay un número finito de números de Heegner y discriminantes negativos d con número de clase h (- d ) = 1, y d = 163 es el mayor en valor absoluto .
- precisa hasta 52 lugares decimales:
- Como el anterior, una consecuencia del invariante j . Entre discriminantes negativos con número de clase 2, este d la más grande en valor absoluto.
- precisa hasta 161 lugares decimales:
- donde u es un producto de cuatro unidades cuarticas simples,
- y,
- Basado en uno encontrado por Daniel Shanks . Similar a los dos anteriores, pero esta vez es un cociente de una forma modular , es decir, la función eta de Dedekind , y donde el argumento involucra . El discriminante d = 3502 tiene h (- d ) = 16.
- La representación de fracción continua de π se puede utilizar para generar sucesivas mejores aproximaciones racionales . Estas aproximaciones son las mejores aproximaciones racionales posibles de π en relación con el tamaño de sus denominadores. Aquí hay una lista de los primeros trece de estos: [64] [65]
- De todos estos es la única fracción en esta secuencia que da más dígitos exactos de π (es decir, 7) que el número de dígitos necesarios para aproximarlo (es decir, 6). La precisión se puede mejorar utilizando otras fracciones con numeradores y denominadores más grandes, pero, para la mayoría de estas fracciones, se requieren más dígitos en la aproximación que las cifras significativas correctas logradas en el resultado. [66]
Sumar el área de un círculo
Pi se puede obtener de un círculo si su radio y área se conocen usando la relación:
Si se dibuja un círculo con radio r con su centro en el punto (0, 0), cualquier punto cuya distancia desde el origen sea menor que r caerá dentro del círculo. El teorema de Pitágoras da la distancia desde cualquier punto ( x , y ) al centro:
Mathematical "papel de gráfico" está formado por imaginar un cuadrado de 1 × 1 centrada alrededor de cada celda ( x , Y ), donde x y y son números enteros entre - r y r . Los cuadrados cuyo centro reside dentro o exactamente en el borde del círculo se pueden contar probando si, para cada celda ( x , y ),
The total number of cells satisfying that condition thus approximates the area of the circle, which then can be used to calculate an approximation of π. Closer approximations can be produced by using larger values of r.
Mathematically, this formula can be written:
In other words, begin by choosing a value for r. Consider all cells (x, y) in which both x and y are integers between −r and r. Starting at 0, add 1 for each cell whose distance to the origin (0,0) is less than or equal to r. When finished, divide the sum, representing the area of a circle of radius r, by r2 to find the approximation of π. For example, if r is 5, then the cells considered are:
(−5,5) (−4,5) (−3,5) (−2,5) (−1,5) (0,5) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (−5,4) (−4,4) (−3,4) (−2,4) (−1,4) (0,4) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (−5,3) (−4,3) (−3,3) (−2,3) (−1,3) (0,3) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (−5,2) (−4,2) (−3,2) (−2,2) (−1,2) (0,2) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (−5,1) (−4,1) (−3,1) (−2,1) (−1,1) (0,1) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (−5,0) (−4,0) (−3,0) (−2,0) (−1,0) (0,0) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0) (−5,−1) (−4,−1) (−3,−1) (−2,−1) (−1,−1) (0,−1) (1,−1) (2,−1) (3,−1) (4,−1) (5,−1) (−5,−2) (−4,−2) (−3,−2) (−2,−2) (−1,−2) (0,−2) (1,−2) (2,−2) (3,−2) (4,−2) (5,−2) (−5,−3) (−4,−3) (−3,−3) (−2,−3) (−1,−3) (0,−3) (1,−3) (2,−3) (3,−3) (4,−3) (5,−3) (−5,−4) (−4,−4) (−3,−4) (−2,−4) (−1,−4) (0,−4) (1,−4) (2,−4) (3,−4) (4,−4) (5,−4) (−5,−5) (−4,−5) (−3,−5) (−2,−5) (−1,−5) (0,−5) (1,−5) (2,−5) (3,−5) (4,−5) (5,−5)
The 12 cells (0, ±5), (±5, 0), (±3, ±4), (±4, ±3) are exactly on the circle, and 69 cells are completely inside, so the approximate area is 81, and π is calculated to be approximately 3.24 because 81⁄52 = 3.24. Results for some values of r are shown in the table below:
r | area | approximation of π |
---|---|---|
2 | 13 | 3.25 |
3 | 29 | 3.22222 |
4 | 49 | 3.0625 |
5 | 81 | 3.24 |
10 | 317 | 3.17 |
20 | 1257 | 3.1425 |
100 | 31417 | 3.1417 |
1000 | 3141549 | 3.141549 |
For related results see The circle problem: number of points (x,y) in square lattice with x^2 + y^2 <= n.
Similarly, the more complex approximations of π given below involve repeated calculations of some sort, yielding closer and closer approximations with increasing numbers of calculations.
Continued fractions
Besides its simple continued fraction representation [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...], which displays no discernible pattern, π has many generalized continued fraction representations generated by a simple rule, including these two.
(Other representations are available at The Wolfram Functions Site.)
Trigonometry
Gregory–Leibniz series
The Gregory–Leibniz series
is the power series for arctan(x) specialized to x = 1. It converges too slowly to be of practical interest. However, the power series converges much faster for smaller values of , which leads to formulae where arises as the sum of small angles with rational tangents, known as Machin-like formulae.
Arctangent
Knowing that 4 arctan 1 = π, the formula can be simplified to get:
with a convergence such that each additional 10 terms yields at least three more digits.
Another formula for involving arctangent function is given by
where such that . Approximations can be made by using, for example, the rapidly convergent Euler formula[67]
Alternatively, the following simple expansion series of the arctangent function can be used
where
to approximate with even more rapid convergence. Convergence in this arctangent formula for improves as integer increases.
The constant can also be expressed by infinite sum of arctangent functions as
and
where is the n-th Fibonacci number. However, these two formulae for are much slower in convergence because of set of arctangent functions that are involved in computation.
Arcsine
Observing an equilateral triangle and noting that
yields
with a convergence such that each additional five terms yields at least three more digits.
The Salamin–Brent algorithm
The Gauss–Legendre algorithm or Salamin–Brent algorithm was discovered independently by Richard Brent and Eugene Salamin in 1975. This can compute to digits in time proportional to , much faster than the trigonometric formulae.
Métodos de extracción de dígitos
The Bailey–Borwein–Plouffe formula (BBP) for calculating π was discovered in 1995 by Simon Plouffe. Using base 16 math, the formula can compute any particular digit of π—returning the hexadecimal value of the digit—without having to compute the intervening digits (digit extraction).[68]
In 1996, Simon Plouffe derived an algorithm to extract the nth decimal digit of π (using base 10 math to extract a base 10 digit), and which can do so with an improved speed of O(n3(log n)3) time. The algorithm requires virtually no memory for the storage of an array or matrix so the one-millionth digit of π can be computed using a pocket calculator.[69] However, it would be quite tedious and impractical to do so.
The calculation speed of Plouffe's formula was improved to O(n2) by Fabrice Bellard, who derived an alternative formula (albeit only in base 2 math) for computing π.[70]
Métodos eficientes
Many other expressions for π were developed and published by Indian mathematician Srinivasa Ramanujan. He worked with mathematician Godfrey Harold Hardy in England for a number of years.
Extremely long decimal expansions of π are typically computed with the Gauss–Legendre algorithm and Borwein's algorithm; the Salamin–Brent algorithm, which was invented in 1976, has also been used.
In 1997, David H. Bailey, Peter Borwein and Simon Plouffe published a paper (Bailey, 1997) on a new formula for π as an infinite series:
This formula permits one to fairly readily compute the kth binary or hexadecimal digit of π, without having to compute the preceding k − 1 digits. Bailey's website[71] contains the derivation as well as implementations in various programming languages. The PiHex project computed 64 bits around the quadrillionth bit of π (which turns out to be 0).
Fabrice Bellard further improved on BBP with his formula:[72]
Other formulae that have been used to compute estimates of π include:
- Newton.
- Srinivasa Ramanujan.
This converges extraordinarily rapidly. Ramanujan's work is the basis for the fastest algorithms used, as of the turn of the millennium, to calculate π.
In 1988, David Chudnovsky and Gregory Chudnovsky found an even faster-converging series (the Chudnovsky algorithm):
- .
The speed of various algorithms for computing pi to n correct digits is shown below in descending order of asymptotic complexity. M(n) is the complexity of the multiplication algorithm employed.
Algorithm | Year | Time complexity or Speed |
---|---|---|
Chudnovsky algorithm | 1988 | [38] |
Gauss–Legendre algorithm | 1975 | [73] |
Binary splitting of the arctan series in Machin's formula | [73] | |
Leibniz formula for π | 1300s | Sublinear convergence. Five billion terms for 10 correct decimal places |
Proyectos
Pi Hex
Pi Hex was a project to compute three specific binary digits of π using a distributed network of several hundred computers. In 2000, after two years, the project finished computing the five trillionth (5*1012), the forty trillionth, and the quadrillionth (1015) bits. All three of them turned out to be 0.
Software para calcular π
Over the years, several programs have been written for calculating π to many digits on personal computers.
General purpose
Most computer algebra systems can calculate π and other common mathematical constants to any desired precision.
Functions for calculating π are also included in many general libraries for arbitrary-precision arithmetic, for instance Class Library for Numbers, MPFR and SymPy.
Special purpose
Programs designed for calculating π may have better performance than general-purpose mathematical software. They typically implement checkpointing and efficient disk swapping to facilitate extremely long-running and memory-expensive computations.
- TachusPi by Fabrice Bellard[74] is the program used by himself to compute world record number of digits of pi in 2009.
- y-cruncher by Alexander Yee[38] is the program which every world record holder since Shigeru Kondo in 2010 has used to compute world record numbers of digits. y-cruncher can also be used to calculate other constants and holds world records for several of them.
- PiFast by Xavier Gourdon was the fastest program for Microsoft Windows in 2003. According to its author, it can compute one million digits in 3.5 seconds on a 2.4 GHz Pentium 4.[75] PiFast can also compute other irrational numbers like e and √2. It can also work at lesser efficiency with very little memory (down to a few tens of megabytes to compute well over a billion (109) digits). This tool is a popular benchmark in the overclocking community. PiFast 4.4 is available from Stu's Pi page. PiFast 4.3 is available from Gourdon's page.
- QuickPi by Steve Pagliarulo for Windows is faster than PiFast for runs of under 400 million digits. Version 4.5 is available on Stu's Pi Page below. Like PiFast, QuickPi can also compute other irrational numbers like e, √2, and √3. The software may be obtained from the Pi-Hacks Yahoo! forum, or from Stu's Pi page.
- Super PI by Kanada Laboratory[76] in the University of Tokyo is the program for Microsoft Windows for runs from 16,000 to 33,550,000 digits. It can compute one million digits in 40 minutes, two million digits in 90 minutes and four million digits in 220 minutes on a Pentium 90 MHz. Super PI version 1.9 is available from Super PI 1.9 page.
Ver también
- Milü
Notas
- ^ Kleinman, Zoe (2019). "Emma Haruka Iwao smashes pi world record with Google help". BBC News. Retrieved 14 March 2019.
- ^ "Most accurate value of pi". Guinness World Records. Retrieved 2 December 2020.
- ^ Mullican, Timothy (26 June 2019). "Calculating Pi: My attempt at breaking the Pi World Record". Bits and Bytes. Retrieved 2 December 2020.
- ^ Petrie, W.M.F. (1940). Wisdom of the Egyptians.
- ^ Verner, Miroslav (2001) [1997]. The Pyramids: The Mystery, Culture, and Science of Egypt's Great Monuments. Grove Press. ISBN 978-0-8021-3935-1.
Based on the Great Pyramid of Giza, supposedly built so that the circle whose radius is equal to the height of the pyramid has a circumference equal to the perimeter of the base (it is 1760 cubits around and 280 cubits in height).
- ^ a b Rossi (2007). Corinna Architecture and Mathematics in Ancient Egypt. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-69053-9.
- ^ Legon, J. A. R. (1991). On Pyramid Dimensions and Proportions. Discussions in Egyptology. 20. pp. 25–34.
- ^ See #Imputed biblical value. Beckmann 1971 "There has been concern over the apparent biblical statement of π ≈ 3 from the early times of rabbinical Judaism, addressed by Rabbi Nehemiah in the 2nd century."[page needed]
- ^ Romano, David Gilman (1993). Athletics and Mathematics in Archaic Corinth: The Origins of the Greek Stadion. American Philosophical Society. p. 78. ISBN 978-0871692061.
A group of mathematical clay tablets from the Old Babylonian Period, excavated at Susa in 1936, and published by E.M. Bruins in 1950, provide the information that the Babylonian approximation of π was 3 1/8 or 3.125.
- ^ Bruins, E. M. (1950). "Quelques textes mathématiques de la Mission de Suse" (PDF).
- ^ Bruins, E. M.; Rutten, M. (1961). Textes mathématiques de Suse. Mémoires de la Mission archéologique en Iran. XXXIV.
- ^ See also Beckmann 1971, pp. 12, 21–22 "in 1936, a tablet was excavated some 200 miles from Babylon. ... The mentioned tablet, whose translation was partially published only in 1950, ... states that the ratio of the perimeter of a regular hexagon to the circumference of the circumscribed circle equals a number which in modern notation is given by 57/60+36/(60)2 [i.e. π = 3/0.96 = 25/8]".
- ^ Imhausen, Annette (2007). Katz, Victor J. (ed.). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11485-9.
- ^ Chaitanya, Krishna. A profile of Indian culture. Indian Book Company (1975). p. 133.
- ^ [1][permanent dead link]
- ^ Lam, Lay Yong; Ang, Tian Se (1986), "Circle measurements in ancient China", Historia Mathematica, 13 (4): 325–340, doi:10.1016/0315-0860(86)90055-8, MR 0875525. Reprinted in Berggren, J. L.; Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter, eds. (2004). Pi: A Source Book. Springer. pp. 20–35. ISBN 978-0387205717.. See in particular pp. 333–334 (pp. 28–29 of the reprint).
- ^ How Aryabhata got the earth's circumference right Archived 15 January 2017 at the Wayback Machine
- ^ Āryabhaṭīya (gaṇitapāda 10):
- chaturadhikam śatamaṣṭaguṇam dvāśaṣṭistathā sahasrāṇām ayutadvayaviṣkambhasyāsanno vr̥ttapariṇahaḥ.
- "Add four to one hundred, multiply by eight and then add sixty-two thousand. The result is approximately the circumference of a circle of diameter twenty thousand. By this rule the relation of the circumference to diameter is given."
- ^ "Aryabhata the Elder". University of St Andrews, School of Mathematics and Statistics. Retrieved 20 July 2011.
- ^ S. Balachandra Rao (1998). Indian Mathematics and Astronomy: Some Landmarks. Bangalore: Jnana Deep Publications. ISBN 978-81-7371-205-0.
- ^ George E. Andrews, Ranjan Roy; Richard Askey (1999). Special Functions. Cambridge University Press. p. 58. ISBN 978-0-521-78988-2.
- ^ Gupta, R. C. (1992). "On the remainder term in the Madhava–Leibniz's series". Ganita Bharati. 14 (1–4): 68–71.
- ^ Boris A. Rosenfeld & Adolf P. Youschkevitch (1981). "Ghiyath al-din Jamshid Masud al-Kashi (or al-Kashani)". Dictionary of Scientific Biography. Vol. 7. p. 256.
|volume=
has extra text (help) - ^ Azarian, Mohammad K. (2010). "al-Risāla al-muhītīyya: A Summary". Missouri Journal of Mathematical Sciences. 22 (2): 64–85. doi:10.35834/mjms/1312233136.
- ^ Capra, B. "Digits of Pi" (PDF). Retrieved 13 January 2018. Cite journal requires
|journal=
(help) - ^ Chakrabarti, Gopal; Hudson, Richard (2003). "An Improvement of Archimedes Method of Approximating π" (PDF). International Journal of Pure and Applied Mathematics. 7 (2): 207–212.
- ^ Sandifer, Edward (2007). "Why 140 Digits of Pi Matter" (PDF). Jurij baron Vega in njegov čas: Zbornik ob 250-letnici rojstva [Baron Jurij Vega and His Times: Celebrating 250 Years]. Ljubljana: DMFA. p. 17. ISBN 978-961-6137-98-0. LCCN 2008467244. OCLC 448882242. Archived from the original (PDF) on 3 March 2016.
We should note that Vega's value contains an error in the 127th digit. Vega gives a 4 where there should be an [6], and all digits after that are incorrect.
- ^ "What kind of accuracy could one get with Pi to 40 decimal places?". Stack Exchange. 11 May 2015.
- ^ Berlinghoff, William P.; Gouvea, Fernando Q. (2020). Math through the Ages: A Gentle History for Teachers and Others Expanded Second Edition (illustrated, revised ed.). American Mathematical Soc. p. 110. ISBN 978-1-939512-12-3.
- ^ a b c d e Shanks, D.; Wrench, Jr., J. W. (1962). "Calculation of π to 100,000 decimals". Mathematics of Computation. 16 (77): 76–99. doi:10.2307/2003813. JSTOR 2003813.
- ^ "Announcement at the Kanada lab web site". Super-computing.org. Archived from the original on 12 March 2011. Retrieved 11 December 2017.
- ^ "Pi Computation Record".
- ^ McCormick Grad Sets New Pi Record Archived 28 September 2011 at the Wayback Machine
- ^ "Pi - 5 Trillion Digits".
- ^ By Glenn (19 October 2011). "Short Sharp Science: Epic pi quest sets 10 trillion digit record". Newscientist.com. Retrieved 18 April 2016.
- ^ Yee, Alexander J.; Kondo, Shigeru (22 October 2011). "Round 2... 10 Trillion Digits of Pi".
- ^ a b Yee, Alexander J.; Kondo, Shigeru (28 December 2013). "12.1 Trillion Digits of Pi".
- ^ a b c d Yee, Alexander J. (2018). "y-cruncher: A Multi-Threaded Pi Program". www.numberworld.org. Retrieved 14 March 2018.
- ^ Treub, Peter (30 November 2016). "Digit Statistics of the First 22.4 Trillion Decimal Digits of Pi". arXiv:1612.00489 [math.NT].
- ^ "Google Cloud Topples the Pi Record". www.numberworld.org. Retrieved 14 March 2019.
- ^ "The Pi Record Returns to the Personal Computer". Retrieved 30 January 2020.
- ^ "Calculating Pi: My attempt at breaking the Pi World Record". 26 June 2019. Retrieved 30 January 2020.
- ^ Allain, Rhett (18 March 2011). "What is the Best Fractional Representation of Pi". WIRED. Conde Nast. Retrieved 16 March 2020.
- ^ John D., Cook. "Best Rational Approximations for Pi". John D. Cook Consulting. Retrieved 16 March 2020.
- ^ "Continued Fraction Approximations to Pi" (PDF). Illinois Department of Mathematics. University of Illinois Board of Trustees. Retrieved 16 March 2020.
- ^ Hallerberg, Arthur E. (1977). "Indiana's Squared Circle". Mathematics Magazine. 50 (3): 136–140. doi:10.1080/0025570X.1977.11976632.
- ^ Tsaban, Boaz; Garber, David (February 1998). "On the rabbinical approximation of π" (PDF). Historia Mathematica. 25 (1): 75–84. doi:10.1006/hmat.1997.2185. ISSN 0315-0860. Retrieved 14 July 2009.
- ^ Wilbur Richard Knorr, The Ancient Tradition of Geometric Problems, New York: Dover Publications, 1993.
- ^ Aleff, H. Peter. "Ancient Creation Stories told by the Numbers: Solomon's Pi". recoveredscience.com. Archived from the original on 14 October 2007. Retrieved 30 October 2007.
- ^ O'Connor, J J; E F Robertson (August 2001). "A history of Pi". Archived from the original on 30 October 2007. Retrieved 30 October 2007.
- ^ Math Forum – Ask Dr. Math
- ^ Eves 1992, p. 131
- ^ Beckmann 1971, p. 66
- ^ Eves 1992, p. 118
- ^ a b Eves 1992, p. 119
- ^ Beckmann 1971, pp. 94–95
- ^ "Pi Formulas - from Wolfram MathWorld". Mathworld.wolfram.com. 13 April 2016. Retrieved 18 April 2016.
- ^ "What can you do with a supercomputer? - ExtremeTech".
- ^ Gardner, Martin (1995). "New Mathematical Diversions". Mathematical Association of America: 92. Cite journal requires
|journal=
(help) - ^ A nested radical approximation for π Archived 6 July 2011 at the Wayback Machine
- ^ "Lost notebook page 16", Ramanujan
- ^ Hoffman, D.W. College Mathematics Journal, 40 (2009) 399
- ^ "Mathematics".
- ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A002485 (Numerators of convergents to Pi)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A002486 (Denominators of convergents to Pi)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- ^ "Fractional Approximations of Pi".
- ^ Hwang Chien-Lih (2005), "An elementary derivation of Euler's series for the arctangent function", The Mathematical Gazette, 89 (516): 469–470, doi:10.1017/S0025557200178404
- ^ MathWorld: BBP Formula Wolfram.com
- ^ Plouffe, Simon (2009). "On the computation of the n^th decimal digit of various transcendental numbers". arXiv:0912.0303v1 [math.NT].
- ^ Bellard's Website: Bellard.org
- ^ "David H Bailey". crd.LBL.gov. Retrieved 11 December 2017.
- ^ "The world of Pi - Bellard". Pi314.net. 13 April 2013. Retrieved 18 April 2016.
- ^ a b Trueb, Peter (2020). The Borwein brothers, Pi and the AGM. Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. 313. arXiv:1802.07558. doi:10.1007/978-3-030-36568-4. ISBN 978-3-030-36567-7. S2CID 214742997.
- ^ Bellard, Fabrice. "TachusPi". Retrieved 20 March 2020.
- ^ "PiFast timings"
- ^ Takahashi, Daisuke; Kanada, Yasumasa (10 August 2010). "Kanada Laboratory home page". University of Tokyo. Archived from the original on 24 August 2011. Retrieved 1 May 2011.
Referencias
- Bailey, David H.; Borwein, Peter B. & Plouffe, Simon (April 1997). "On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants" (PDF). Mathematics of Computation. 66 (218): 903–913. Bibcode:1997MaCom..66..903B. doi:10.1090/S0025-5718-97-00856-9.
- Beckmann, Petr (1971). A History of π. New York: St. Martin's Press. ISBN 978-0-88029-418-8. MR 0449960.
- Eves, Howard (1992). An Introduction to the History of Mathematics (6th ed.). Saunders College Publishing. ISBN 978-0-03-029558-4.
- Joseph, George G. (2000). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (New ed., London : Penguin ed.). London: Penguin. ISBN 978-0-14-027778-4.
- Jackson, K; Stamp, J. (2002). Pyramid: Beyond Imagination. Inside the Great Pyramid of Giza. London: BBC.[ISBN missing]
- Berggren, Lennart; Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (2004). Pi: a source book (3rd ed.). New York: Springer Science + Business Media LLC. ISBN 978-1-4757-4217-6.