Asociaedro
En matemáticas , un asociaedro K n es un politopo convexo de ( n − 2) dimensiones en el que cada vértice corresponde a una forma de insertar correctamente los paréntesis de apertura y cierre en una palabra de n letras y las aristas corresponden a la aplicación única de la regla de asociatividad . De manera equivalente, los vértices de un asociaedro corresponden a las triangulaciones de un polígono regular con n + 1 lados y los bordes corresponden a cambios de borde en los que se elimina una sola diagonal de una triangulación y se reemplaza por una diagonal diferente. Los asociaedros también se llamanLos politopos de Stasheff después del trabajo de Jim Stasheff , quien los redescubrió a principios de la década de 1960 [1] después de un trabajo anterior sobre ellos de Dov Tamari . [2]
El asociaedro unidimensional K 3 representa los dos paréntesis (( xy ) z ) y ( x ( yz )) de tres símbolos, o las dos triangulaciones de un cuadrado. Es en sí mismo un segmento de línea.
El asociaedro bidimensional K 4 representa los cinco paréntesis de cuatro símbolos, o las cinco triangulaciones de un pentágono regular. Es en sí mismo un pentágono y está relacionado con el diagrama del pentágono de una categoría monoide .
El asociaedro tridimensional K 5 es un eneaedro topológicamente equivalente a la bipirámide triangular truncada de orden 4 con nueve caras (tres cuadrados y seis pentágonos) y catorce vértices, y su dual es el prisma triangular triaumentado .
Inicialmente , Jim Stasheff consideró estos objetos como politopos curvilíneos . Posteriormente, se les dieron coordenadas como politopos convexos de varias maneras diferentes; ver la introducción de Ceballos, Santos & Ziegler (2015) para una encuesta. [3]
Un método para realizar el asociaedro es como el politopo secundario de un polígono regular. [3] En esta construcción, cada triangulación de un polígono regular de n + 1 lados corresponde a un punto en el espacio euclidiano ( n + 1)-dimensional , cuya i -ésima coordenada es el área total de los triángulos incidentes en el i -ésimo vértice del polígono. Por ejemplo, las dos triangulaciones del cuadrado unitario dan lugar así a dos puntos tetradimensionales de coordenadas (1, 1/2, 1, 1/2) y (1/2, 1, 1/2, 1) . La envolvente convexa de estos dos puntos es la realización del asociaedro K 3. Aunque vive en un espacio de 4 dimensiones, forma un segmento de línea (un politopo de 1 dimensión) dentro de ese espacio. De manera similar, el asociaedro K 4 se puede realizar de esta manera como un pentágono regular en el espacio euclidiano de cinco dimensiones, cuyas coordenadas de vértice son las permutaciones cíclicas del vector (1, 2 + φ, 1, 1 + φ, 1 + φ) donde φ denota la proporción áurea . Debido a que los posibles triángulos dentro de un hexágono regular tienen áreas que son múltiplos enteros entre sí, esta construcción puede usarse para dar coordenadas enteras (en seis dimensiones) al asociaedro tridimensional K 5 ; sin embargo (como el ejemplo de K 4ya muestra) esta construcción en general conduce a números irracionales como coordenadas.
