En matemáticas , la aproximación de la fase estacionaria es un principio básico del análisis asintótico , que se aplica al límite como.
Este método se origina en el siglo XIX y se debe a George Gabriel Stokes y Lord Kelvin . [1] Está estrechamente relacionado con el método de Laplace y el método de descenso más pronunciado , pero la contribución de Laplace precede a las demás.
Lo esencial
La idea principal de los métodos de fase estacionaria se basa en la cancelación de sinusoides con una fase que varía rápidamente. Si muchas sinusoides tienen la misma fase y se suman, se sumarán de forma constructiva. Sin embargo, si estas mismas sinusoides tienen fases que cambian rápidamente a medida que cambia la frecuencia, se sumarán incoherentemente, variando entre adiciones constructivas y destructivas en diferentes momentos.
Fórmula
Dejando denotar el conjunto de puntos críticos de la función (es decir, puntos donde ), bajo el supuesto de que tiene un soporte compacto o tiene un decaimiento exponencial, y que todos los puntos críticos son no degenerados (es decir, por ) tenemos la siguiente fórmula asintótica, como :
Aquí denota el arpillera de, y denota la firma del hessiano, es decir, el número de valores propios positivos menos el número de valores propios negativos.
Para , esto se reduce a:
En este caso, las suposiciones sobre reducir a que todos los puntos críticos no sean degenerados.
Esta es solo la versión rotada por Wick de la fórmula para el método de descenso más empinado .
Un ejemplo
Considere una función
- .
El término de fase en esta función, , está estacionario cuando
o equivalente,
- .
Las soluciones a esta ecuación producen frecuencias dominantes para algunos y . Si nos expandimoscomo una serie de Taylor sobre y descuidar los términos de orden superior a , tenemos
dónde denota la segunda derivada de . Cuándo es relativamente grande, incluso una pequeña diferencia generará oscilaciones rápidas dentro de la integral, lo que conducirá a la cancelación. Por lo tanto, podemos extender los límites de integración más allá del límite para una expansión de Taylor. Si usamos la fórmula,
- .
- .
Esto se integra a
- .
Pasos de reducción
El primer enunciado general importante del principio involucrado es que el comportamiento asintótico de I ( k ) depende solo de los puntos críticos de f . Si al elegir g la integral se localiza en una región del espacio donde f no tiene un punto crítico, la integral resultante tiende a 0 cuando la frecuencia de las oscilaciones se lleva al infinito. Véase, por ejemplo , el lema de Riemann-Lebesgue .
La segunda afirmación es que cuando f es una función Morse , de modo que los puntos singulares de f no están degenerados y están aislados, entonces la cuestión puede reducirse al caso n = 1. De hecho, entonces, una elección de g puede ser hecho para dividir la integral en casos con solo un punto crítico P en cada uno. En ese punto, debido a que el determinante de Hesse en P no es 0, por supuesto, se aplica el lema de Morse . Por un cambio de coordenadas, f puede ser reemplazado por
- .
El valor de j está dada por la firma de la matriz de Hesse de f en P . En cuanto a g , el caso esencial es que g es un producto de las funciones de relieve de x i . Suponiendo ahora sin pérdida de generalidad que P es el origen, tome una función de relieve suave h con valor 1 en el intervalo [−1, 1] y rápidamente tendiendo a 0 fuera de él. Llevar
- ,
entonces el teorema de Fubini reduce I ( k ) a un producto de integrales sobre la línea real como
con f ( x ) = ± x 2 . El caso con el signo menos es el complejo conjugado del caso con el signo más, por lo que se requiere esencialmente una estimación asintótica.
De esta manera se pueden encontrar asintóticas para integrales oscilatorias para funciones Morse. El caso degenerado requiere técnicas adicionales (ver por ejemplo la función Airy ).
Caso unidimensional
La declaración esencial es esta:
- .
De hecho, mediante la integración de contorno se puede demostrar que el término principal en el lado derecho de la ecuación es el valor de la integral en el lado izquierdo, extendido sobre el rango(para una prueba, consulte la integral de Fresnel ). Por lo tanto, se trata de estimar la integral sobre, digamos,. [2]
Este es el modelo para todas las integrales unidimensionales. con tener un solo punto crítico no degenerado en el que tiene segunda derivada . De hecho, el caso del modelo tiene la segunda derivada 2 en 0. Para escalar usando, observe que reemplazando por dónde es constante es lo mismo que escalar por . De ello se deduce que para los valores generales de, el factor se convierte en
- .
Para se usa la fórmula conjugada compleja, como se mencionó anteriormente.
Términos de orden inferior
Como puede verse en la fórmula, la aproximación de la fase estacionaria es una aproximación de primer orden del comportamiento asintótico de la integral. Los términos de orden inferior pueden entenderse como una suma de más de los diagramas de Feynman con varios factores de ponderación, para un buen comportamiento..
Ver también
Notas
- ^ Courant, Richard ; Hilbert, David (1953), Métodos de física matemática , 1 (segunda edición revisada), Nueva York: Interscience Publishers, p. 474, OCLC 505700
- ↑ Véase, por ejemplo, Jean Dieudonné , Infinitesimal Calculus , p. 119 o Jean Dieudonné , Calcul Infinitésimal , p.135 .
Referencias
- Bleistein, N. y Handelsman, R. (1975), Expansiones asintóticas de integrales , Dover, Nueva York.
- Victor Guillemin y Shlomo Sternberg (1990), Geometric Asymptics , (ver Capítulo 1).
- Hörmander, L. (1976), Operadores diferenciales parciales lineales, Volumen 1 , Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-00662-6.
- Aki, Keiiti; Y Richards, Paul G. (2002). "Sismología cuantitativa" (2ª ed.), Págs. 255-256. Libros de ciencia universitaria, ISBN 0-935702-96-2
- Wong, R. (2001), Aproximaciones asintóticas de integrales , Clásicos en matemáticas aplicadas, vol. 34. Reimpresión corregida del original de 1989. Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas (SIAM), Filadelfia, PA. xviii + 543 páginas, ISBN 0-89871-497-4 .
- Dieudonné, J. (1980), Calcul Infinitésimal , Hermann, París
enlaces externos
- "Fase estacionaria, método de la" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]