Teoría de Morse

En matemáticas , específicamente en topología diferencial , la teoría de Morse permite analizar la topología de una variedad mediante el estudio de funciones diferenciables en esa variedad. De acuerdo con las ideas básicas de Marston Morse , una función diferenciable típica en una variedad reflejará la topología de manera bastante directa. La teoría de Morse permite encontrar estructuras CW y manejar descomposiciones en variedades y obtener información sustancial sobre su homología .

Antes de Morse, Arthur Cayley y James Clerk Maxwell habían desarrollado algunas de las ideas de la teoría de Morse en el contexto de la topografía . Morse aplicó originalmente su teoría a las geodésicas ( puntos críticos de la energía funcional en caminos). Estas técnicas se utilizaron en la prueba de Raoul Bott de su teorema de periodicidad .

Considere, con fines ilustrativos, un paisaje montañoso. Si es la función que envía cada punto a su elevación, entonces la imagen inversa de un punto en es una línea de contorno (más generalmente, un conjunto de niveles ). Cada componente conectado de una línea de contorno es un punto, una curva cerrada simple o una curva cerrada con un punto doble . Las curvas de nivel también pueden tener puntos de orden superior (puntos triples, etc.), pero estos son inestables y pueden ser eliminados por una ligera deformación del paisaje. Los puntos dobles en las curvas de nivel se producen en los puntos de silla${\ estilo de visualización M.}$${\ estilo de visualización f}$ ${\displaystyle M\to \mathbb {R} }$${\ estilo de visualización \ mathbb {R}}$, o pases. Los puntos de silla son puntos donde el paisaje circundante se curva hacia arriba en una dirección y hacia abajo en la otra.

Imagina inundar este paisaje con agua. Luego, la región cubierta por el agua cuando el agua alcanza una elevación de es , o los puntos con una elevación menor o igual a Considere cómo cambia la topología de esta región a medida que sube el agua. Parece, intuitivamente, que no cambia excepto cuando pasa la altura de un punto crítico ; es decir, un punto donde el gradiente de es (es decir, la matriz jacobiana que actúa como un mapa lineal desde el espacio tangente en ese punto al espacio tangente en su imagen debajo del mapa no tiene rango máximo). En otras palabras, no cambia excepto cuando el agua (1) comienza a llenar una palangana, (2) cubre una silla de montar (una${\ estilo de visualización a}$${\displaystyle f^{-1}(-\infty,a]}$${\ estilo de visualización a.}$${\ estilo de visualización a}$${\ estilo de visualización f}$${\ estilo de visualización 0}$${\ estilo de visualización f}$paso de montaña ), o (3) sumerge un pico.

un punto de silla

Líneas de contorno alrededor de un punto de silla

el toro

Estas figuras son homotópicas equivalentes.

Estas figuras son homotópicas equivalentes.