En matemáticas , el lema de Riemann-Lebesgue , llamado así por Bernhard Riemann y Henri Lebesgue , establece que la transformada de Fourier o transformada de Laplace de una función L 1 desaparece en el infinito. Es de importancia en el análisis armónico y el análisis asintótico .
Declaración
Si f es L 1 integrable en R d , es decir, si la integral de Lebesgue de | ƒ | es finito, entonces la transformada de Fourier de f satisface
Prueba
Primero suponga que , la función indicadora de un intervalo abierto .
Luego:
como
Por aditividad de los límites, lo mismo se aplica a una función escalonada arbitraria . Es decir, para cualquier función de la forma:
Tenemos eso:
Finalmente, deja ser arbitrario.
Dejar ser arreglado.
Dado que las funciones escalonadas son densas en , existe una función de paso tal que:
Según nuestro argumento anterior y la definición de un límite de una función compleja, existe tal que para todos :
Por aditividad de integrales:
Por la desigualdad del triángulo para números complejos, la [desigualdad del triángulo] para integrales, la multiplicatividad del valor absoluto y la fórmula de Euler :
Para todos , el lado derecho está delimitado por por nuestros argumentos anteriores. Desde fue arbitrario, esto establece:
para todos .
Otras versiones
El lema de Riemann-Lebesgue se mantiene en una variedad de otras situaciones.
- Si ƒ es L 1 integrable y se apoya en (0, ∞), entonces el lema de Riemann-Lebesgue también es válido para la transformada de Laplace de ƒ . Es decir,
- como | z | → ∞ dentro del semiplano Re ( z ) ≥ 0.
- Una versión también es válida para las series de Fourier : si f es una función integrable en un intervalo, entonces los coeficientes de Fourier de f tienden a 0 como,
- Esto sigue al extender f en cero fuera del intervalo y luego aplicar la versión del lema en toda la línea real.
- Una afirmación similar es trivial para las funciones L 2 . Para ver esto, observe que la transformada de Fourier lleva L 2 a L 2 y tales funciones tienen l 2 series de Fourier.
- Sin embargo, el lema no es válido para distribuciones arbitrarias. Por ejemplo, la distribución de la función delta de Dirac tiene formalmente una integral finita sobre la línea real, pero su transformada de Fourier es una constante (el valor exacto depende de la forma de la transformada utilizada) y no desaparece en el infinito.
Aplicaciones
El lema de Riemann-Lebesgue se puede utilizar para demostrar la validez de aproximaciones asintóticas para integrales. Los tratamientos rigurosos del método de descenso más pronunciado y el método de fase estacionaria , entre otros, se basan en el lema de Riemann-Lebesgue.
Prueba
Nos centraremos en el caso unidimensional, la prueba en dimensiones superiores es similar. Supongamos primero que f es una función suave con soporte compacto . Entonces la integración por partes rinde
Si f es una función integrable arbitraria, puede aproximarse en la norma L 1 mediante una función suave g con soporte compacto . Elige una g para que || ƒ - g || L 1 < ε . Luego
y dado que esto es válido para cualquier ε > 0, se sigue el teorema.
Referencias
- Bochner S. , Chandrasekharan K. (1949). Transformadas de Fourier . Prensa de la Universidad de Princeton.
- Weisstein, Eric W. "Riemann-Lebesgue Lemma" . MathWorld .
- https://proofwiki.org/wiki/Euler%27s_Formula