Álgebra de Steenrod

En topología algebraica , Henri Cartan ( 1955 ) definió un álgebra de Steenrod como el álgebra de las operaciones de cohomología estable para la cohomología mod . ${\ Displaystyle p}$

Para un número primo dado , el álgebra de Steenrod es el álgebra de Hopf graduada sobre el campo del orden , que consta de todas las operaciones de cohomología estables para la cohomología mod . Es generado por los cuadrados de Steenrod introducidos por Norman Steenrod ( 1947 ) para , y por los poderes reducidos de Steenrod introducidos en Steenrod ( 1953a , 1953b ) y el homomorfismo de Bockstein para . ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle A_ {p}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle p = 2}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle p> 2}$

El término "álgebra de Steenrod" también se usa a veces para el álgebra de operaciones de cohomología de una teoría de cohomología generalizada .

Una operación de cohomología es una transformación natural entre functores de cohomología. Por ejemplo, si tomamos la cohomología con coeficientes en un anillo , la operación de cuadratura del producto de copa produce una familia de operaciones de cohomología: ${\ Displaystyle R}$

Estas operaciones no conmutan con suspensión , es decir, son inestables. (Esto se debe a que si es una suspensión de un espacio , el producto de la taza en la cohomología de es trivial). Steenrod construyó operaciones estables. ${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle Y}$

para todo mayor que cero. La notación y su nombre, los cuadrados Steenrod, proviene del hecho de que restringido a las clases de grado está el cuadrado de la taza. Hay operaciones análogas para coeficientes primarios impares, generalmente denotados y llamados operaciones de -ésima potencia reducida : ${\ Displaystyle i}$ ${\ displaystyle Sq}$ ${\ Displaystyle Sq ^ {n}}$ ${\ Displaystyle n}$ $P^{i}$ $p$