Grupo lineal general
En matemáticas , el grupo lineal general de grado n es el conjunto de matrices invertibles n × n , junto con la operación de multiplicación de matrices ordinaria . Esto forma un grupo , porque el producto de dos matrices invertibles es nuevamente invertible, y el inverso de una matriz invertible es invertible, con la matriz identidad como el elemento identidad del grupo. El grupo se llama así porque las columnas (y también las filas) de una matriz invertible son linealmente independientes , por lo que los vectores/puntos que definen están en posición lineal general ., y las matrices en el grupo lineal general toman puntos en posición lineal general a puntos en posición lineal general.
Para ser más precisos, es necesario especificar qué tipo de objetos pueden aparecer en las entradas de la matriz. Por ejemplo, el grupo lineal general sobre R (el conjunto de números reales ) es el grupo de matrices invertibles n × n de números reales, y se denota por GL n ( R ) o GL( n , R ) .
Más generalmente, el grupo lineal general de grado n sobre cualquier campo F (como los números complejos ), o un anillo R (como el anillo de los enteros ), es el conjunto de n × n matrices invertibles con entradas de F (o R ), nuevamente con la multiplicación de matrices como operación de grupo. [1] La notación típica es GL n ( F ) o GL( n , F ) , o simplemente GL( n ) si se entiende el campo.
Aún más generalmente, el grupo lineal general de un espacio vectorial GL( V ) es el grupo de automorfismo abstracto , no necesariamente escrito como matrices.
El grupo lineal especial , escrito SL( n , F ) o SL n ( F ), es el subgrupo de GL( n , F ) que consta de matrices con un determinante de 1.
El grupo GL( n , F ) y sus subgrupos a menudo se denominan grupos lineales o grupos matriciales (el grupo abstracto GL( V ) es un grupo lineal pero no un grupo matricial). Estos grupos son importantes en la teoría de representaciones de grupos , y también surgen en el estudio de simetrías espaciales y simetrías de espacios vectoriales en general, así como en el estudio de polinomios . El grupo modular puede realizarse como un cociente del grupo lineal especial SL(2, Z ) .
.svg)