Teorema de stickelberger

En matemáticas , el teorema de Stickelberger es el resultado de la teoría algebraica de números , que proporciona cierta información sobre la estructura del módulo de Galois de grupos de clases de campos ciclotómicos . Un caso especial fue probado por primera vez por Ernst Kummer ( 1847 ), mientras que el resultado general se debe a Ludwig Stickelberger ( 1890 ). ^[1]

Sea $K m$ el $m$ ésimo campo ciclotómico , es decir, la extensión de los números racionales obtenidos al unir las $m$ ésimas raíces de la unidad a (donde $m$ $\geq 2$ es un número entero). Es una extensión de Galois con el grupo de Galois $G$ $m$ isomorfo al grupo multiplicativo de números enteros módulo $m$ $($ $/$ $m$ $)$ $\times$ . El elemento Stickelberger ( de nivel $m$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ o de $K m$ ) es un elemento en el anillo de grupo $[$ $G$ $m$ $]$ y la ideales Stickelberger ( de nivel $m$ o de $K$ $m$ ) es un ideal en el anillo de grupo $[$ $G$ $m$ $]$ . Se definen de la siguiente manera. Sea $ζ$ $m$ una $m$ -ésima raíz de unidad primitiva . El isomorfismo de $($ $/$ $m$ $)$ $\times$ a $G$ $m$ se da enviando $a$ a $σ$ $a$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ definido por la relación

El ideal de Stickelberger de nivel $m$ , denotado $I (K m)$ , es el conjunto de múltiplos integrales de $θ (K m)$ que tienen coeficientes integrales, es decir

De manera más general, si $F$ es cualquier campo numérico abeliano cuyo grupo de Galois se denota $G$ $F$ , entonces se pueden definir el elemento Stickelberger de $F$ y el ideal Stickelberger de $F.$ Según el teorema de Kronecker-Weber, hay un número entero $m$ tal que $F$ está contenido en $K$ $m$ . Fije el mínimo de tales $m$ (esta es la (parte finita del) conductor de $F$ sobre ). Hay un homomorfismo de grupo natural $G$ $m$ $\to$ $G$ $F$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ dada por restricción, es decir, si $σ \in G m$ , su imagen en $G F$ es su restricción a $F$ denotada $res m σ$ . El elemento Stickelberger de $F$ se define entonces como

En el caso especial donde $F = K m$ , el ideal de Stickelberger $I (K m)$ es generado por $(a - σ a) θ (K m)$ cuando $a$ varía sobre $/$ $m$ . Esto no es cierto para el general F . ^[2] ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

donde $φ$ es la función totient de Euler y ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ es el grado de $F$ sobre . ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$