Teoría del campo de clase
En matemáticas , la teoría de clases de campos es la rama de la teoría algebraica de números que se ocupa de describir las extensiones de Galois de los campos locales y globales . [1] Hilbert es a menudo acreditado por la noción de campo de clase . Pero ya era familiar para Kronecker y en realidad fue Weber quien acuñó el término antes de que aparecieran los artículos fundamentales de Hilbert. [2] Esta teoría tiene su origen en la demostración de la reciprocidad cuadrática de Gaussa finales del siglo XVIII. Estas ideas se desarrollaron durante el siglo siguiente, dando lugar a un conjunto de conjeturas de Hilbert que posteriormente fueron probadas por Takagi y Artin . Estas conjeturas y sus pruebas constituyen el cuerpo principal de la teoría del campo de clases.
Un resultado importante establece que, dado un campo numérico F , y escribiendo K para la máxima extensión abeliana no ramificada de F , el grupo de Galois de K sobre F es canónicamente isomorfo al grupo de clase ideal de F . Esta afirmación puede generalizarse a la ley de reciprocidad de Artin ; escribiendo C F para el grupo de clase idele de F , y tomando L como cualquier extensión abeliana finita de F , esta ley da un isomorfismo canónico
donde denota el mapa de norma ideal de L a F . Este isomorfismo se llama mapa de reciprocidad . El teorema de existencia establece que el mapa de reciprocidad se puede usar para dar una biyección entre el conjunto de extensiones abelianas de F y el conjunto de subgrupos cerrados de índice finito de
Un método estándar para desarrollar la teoría de campos de clases globales desde la década de 1930 es desarrollar la teoría de campos de clases locales , que describe extensiones abelianas de campos locales, y luego usarla para construir la teoría de campos de clases globales. Esto fue hecho por primera vez por Artin y Tate utilizando la teoría de la cohomología de grupos y, en particular, desarrollando la noción de formaciones de clases. Más tarde, Neukirch encontró una prueba de los principales enunciados de la teoría del campo de clase global sin utilizar ideas cohomológicas.
La teoría de campos de clases también abarca la construcción explícita de extensiones abelianas máximas de campos numéricos en los pocos casos en que se conocen tales construcciones. Actualmente, esta parte de la teoría consiste en el teorema de Kronecker-Weber , que se puede usar para construir las extensiones abelianas de , y la teoría de la multiplicación compleja , que se puede usar para construir las extensiones abelianas de los campos CM .
El programa Langlands ofrece un enfoque para generalizar la teoría del campo de clases a extensiones no abelianas. Esta generalización sigue siendo en su mayor parte conjetural. Para campos numéricos, la teoría de campos de clases y los resultados relacionados con el teorema de modularidad son los únicos casos conocidos.