Teoría de la dualidad para redes distributivas
En matemáticas , la teoría de la dualidad para retículas distributivas proporciona tres representaciones diferentes (pero estrechamente relacionadas) de retículas distributivas limitadas a través de espacios de Priestley , espacios espectrales y espacios de Stone por parejas . Esta dualidad, que originalmente también se debe a Marshall H. Stone , [1] generaliza la conocida dualidad de Stone entre los espacios de Stone y las álgebras booleanas .
Sea L una red distributiva acotada, y sea X el conjunto de filtros primos de L . Para cada a ∈ L , sea φ + ( a ) = { x ∈ X : a ∈ x } . Entonces ( X , τ + ) es un espacio espectral, [2] donde la topología τ + sobre X es generada por { φ + ( a) : un ∈ L } . El espacio espectral ( X , τ + ) se denomina espectro primo de L .
El mapa φ + es un isomorfismo de celosía de L en la celosía de todos los subconjuntos abiertos compactos de ( X , τ + ) . De hecho, cada espacio espectral es homeomorfo al espectro primo de alguna red distributiva acotada. [3]
De manera similar, si φ − ( a ) = { x ∈ X : a ∉ x } y τ − denota la topología generada por { φ − ( a ) : a ∈ L } , entonces ( X , τ − ) también es un espacio espectral . Además, ( X , τ + , τ − ) es un espacio de Stone por pares . El espacio de piedra por pares ( X, τ + , τ − ) se llama el dual bitopológico de L . Cada espacio de piedra por pares es bihomeomorfo al dual bitopológico de alguna red distributiva limitada. [4]
Finalmente, sea ≤ una inclusión teórica de conjuntos en el conjunto de filtros primos de L y sea τ = τ + ∨ τ − . Entonces ( X , τ ,≤) es un espacio de Priestley . Además, φ + es un isomorfismo de red de L en la red de todos los conjuntos abiertos de ( X , τ ,≤) . El espacio de Priestley ( X , τ ,≤) se denomina dual de Priestley de L. Cada espacio de Priestley es isomorfo al dual de Priestley de alguna red distributiva acotada. [5]
Sea Dist la categoría de retículos distributivos acotados y homomorfismos de retículos acotados . Entonces, las tres representaciones anteriores de redes distributivas acotadas se pueden extender a la equivalencia dual [6] entre Dist y las categorías Spec , PStone y Pries de espacios espectrales con mapas espectrales, de espacios de Stone por pares con mapas bicontinuos y de espacios de Priestley con morfismos de Priestley, respectivamente:
