En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , un espacio de Stone , también conocido como espacio profinito , [1] es un espacio de Hausdorff compacto y totalmente desconectado . [2] Los espacios de piedra llevan el nombre de Marshall Harvey Stone, quien los introdujo y estudió en la década de 1930 en el curso de su investigación de las álgebras booleanas , que culminó en su teorema de representación para las álgebras booleanas .
Condiciones equivalentes
Las siguientes condiciones en el espacio topológico X son equivalentes: [2] [1]
- X es un espacio de piedra;
- X es homeomorfo hasta el límite proyectivo (en la categoría de espacios topológicos ) de un sistema inverso de espacios discretos finitos ;
- X es compacto y totalmente separado ;
- X es compacto, T 0 y de dimensión cero (en el sentido de la pequeña dimensión inductiva );
- X es coherente y Hausdorff.
Ejemplos de
Ejemplos importantes de espacios de Stone incluyen espacios discretos finitos , el conjunto de Cantor y el espacio Z p de p -enteros ádicos , donde p es cualquier número primo . Generalizando estos ejemplos, cualquier producto de espacios discretos finitos es un espacio de Piedra, y el espacio topológico subyacente a cualquier grupo profinito es un espacio de Piedra. La compactificación Stone-Čech de los números naturales con la topología discreta, o incluso de cualquier espacio discreto, es un espacio Stone.
Teorema de representación de Stone para álgebras de Boole
A cada álgebra de Boole B podemos asociar un espacio de Stone S ( B ) de la siguiente manera: los elementos de S ( B ) son los ultrafiltros en B , y la topología en S ( B ), llamada topología de Stone , es generada por los conjuntos de la forma { F ∈ S ( B ): b ∈ F }, donde b es un elemento de B .
El teorema de representación de Stone para álgebras booleanas establece que cada álgebra booleana es isomórfica al álgebra booleana de conjuntos abiertos del espacio de Stone S ( B ); y, además, todos los espacios de piedra X es homeomorfo al espacio de piedra perteneciente al álgebra de Boole de conjuntos abiertos y cerrados de X . Estas asignaciones son functoriales , y obtenemos una dualidad teórica de categorías entre la categoría de álgebras de Boole (con homomorfismos como morfismos) y la categoría de espacios de Stone (con mapas continuos como morfismos).
El teorema de Stone dio lugar a una serie de dualidades similares, ahora conocidas colectivamente como dualidades de Stone .
Otras lecturas
- Peter Johnstone , Stone Spaces , Cambridge University Press, 1982
Ver también
Referencias
- ^ a b Espacio de piedra en nLab
- ^ a b "Espacio de piedra" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]